Номер 576, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

576. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите вектор x, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что:

а) Дано векторное равенство: $ \vec{DC} + \vec{D_1A_1} + \vec{CD_1} + \vec{x} + \vec{A_1C_1} = \vec{DB} $.
Чтобы найти вектор $ \vec{x} $, сначала упростим левую часть уравнения, сгруппировав векторы для применения правила сложения (правило многоугольника):
$ (\vec{DC} + \vec{CD_1}) + (\vec{D_1A_1} + \vec{A_1C_1}) + \vec{x} = \vec{DB} $
По правилу треугольника (сумма векторов, где конец одного является началом другого):
$ \vec{DC} + \vec{CD_1} = \vec{DD_1} $
$ \vec{D_1A_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{D_1C_1} $
Подставим полученные результаты в уравнение:
$ \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{x} = \vec{DB} $
Снова применяем правило треугольника:
$ \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1} = \vec{DC_1} $
Теперь уравнение имеет вид:
$ \vec{DC_1} + \vec{x} = \vec{DB} $
Выразим из него $ \vec{x} $:
$ \vec{x} = \vec{DB} - \vec{DC_1} $
По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало ($ \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA} $):
$ \vec{DB} - \vec{DC_1} = \vec{C_1B} $
Таким образом, искомый вектор $ \vec{x} $ — это вектор, идущий из вершины $ C_1 $ в вершину $ B $.
Ответ: $ \vec{x} = \vec{C_1B} $.

б) Дано векторное равенство: $ \vec{DA} + \vec{x} + \vec{D_1B} + \vec{AD_1} + \vec{BA} = \vec{DC} $.
Как и в предыдущем пункте, упростим левую часть, сгруппировав векторы:
$ (\vec{BA} + \vec{AD_1}) + \vec{D_1B} + \vec{DA} + \vec{x} = \vec{DC} $
По правилу треугольника:
$ \vec{BA} + \vec{AD_1} = \vec{BD_1} $
Подставляем результат в уравнение:
$ \vec{BD_1} + \vec{D_1B} + \vec{DA} + \vec{x} = \vec{DC} $
Сумма векторов $ \vec{BD_1} $ и $ \vec{D_1B} $ является суммой противоположных векторов, которая равна нулевому вектору:
$ \vec{BD_1} + \vec{D_1B} = \vec{BB} = \vec{0} $
Уравнение принимает вид:
$ \vec{0} + \vec{DA} + \vec{x} = \vec{DC} $
$ \vec{DA} + \vec{x} = \vec{DC} $
Выразим из него $ \vec{x} $:
$ \vec{x} = \vec{DC} - \vec{DA} $
По правилу вычитания векторов с общим началом:
$ \vec{DC} - \vec{DA} = \vec{AC} $
Таким образом, искомый вектор $ \vec{x} $ — это вектор, идущий из вершины $ A $ в вершину $ C $.
Ответ: $ \vec{x} = \vec{AC} $.