Номер 582, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

582. Точки Е и F — середины оснований AB и ВС параллелограмма ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите: а) вектор OA − OC через вектор EF; б) вектор OA − OE через вектор DC.

а)

Чтобы выразить вектор $\vec{OA} - \vec{OC}$ через вектор $\vec{EF}$, воспользуемся правилом вычитания векторов и определением средней линии треугольника.

1. Разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ по определению равна вектору $\vec{CA}$: $\vec{OA} - \vec{OC} = \vec{CA}$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию, точка $E$ — середина стороны $AB$, а точка $F$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

3. По свойству средней линии, вектор, построенный на ней, равен половине вектора, построенного на основании треугольника, которому эта средняя линия параллельна. В нашем случае, средняя линия $EF$ параллельна основанию $AC$. Таким образом: $\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

4. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Выразим $\vec{AC}$ из предыдущего равенства: $\vec{AC} = 2\vec{EF}$.

5. Подставим полученное выражение в формулу для $\vec{CA}$: $\vec{CA} = -2\vec{EF}$.

6. Так как $\vec{OA} - \vec{OC} = \vec{CA}$, то окончательно получаем: $\vec{OA} - \vec{OC} = -2\vec{EF}$.

Ответ: $\vec{OA} - \vec{OC} = -2\vec{EF}$.

б)

Чтобы выразить вектор $\vec{OA} - \vec{OE}$ через вектор $\vec{DC}$, воспользуемся правилом вычитания векторов и свойствами параллелограмма.

1. Разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OE}$ по определению равна вектору $\vec{EA}$: $\vec{OA} - \vec{OE} = \vec{EA}$.

2. По условию, точка $E$ является серединой стороны $AB$. Это значит, что вектор $\vec{AE}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$: $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

3. Вектор $\vec{EA}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{BA}$, и равен ему по модулю. Вектор $\vec{EA}$ противоположен по направлению вектору $\vec{AE}$, поэтому: $\vec{EA} = -\vec{AE} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.

4. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, построенные на противоположных сторонах, равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

5. Подставим $\vec{DC}$ вместо $\vec{AB}$ в выражение для $\vec{EA}$: $\vec{EA} = -\frac{1}{2}\vec{DC}$.

6. Так как $\vec{OA} - \vec{OE} = \vec{EA}$, то получаем: $\vec{OA} - \vec{OE} = -\frac{1}{2}\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{OA} - \vec{OE} = -\frac{1}{2}\vec{DC}$.