Номер 577, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

577. Дана треугольная призма ABCА₁В₁С₁. Укажите вектор x, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что:

а)

Дано векторное уравнение: $\vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{x} = \vec{BA}$.
Для того чтобы найти вектор $\vec{x}$, выразим его из этого уравнения:
$\vec{x} = \vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{BA}$
Используем свойство противоположных векторов: $-\vec{BA} = \vec{AB}$.
$\vec{x} = \vec{AA_1} + \vec{B_1C} + \vec{AB}$
Чтобы упростить выражение, разложим вектор $\vec{B_1C}$ по правилу треугольника, используя вершины призмы: $\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BC}$.
По определению призмы, боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Следовательно, $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1}$.
Подставим это в разложение вектора $\vec{B_1C}$:
$\vec{B_1C} = -\vec{AA_1} + \vec{BC}$
Теперь подставим полученное выражение обратно в уравнение для $\vec{x}$:
$\vec{x} = \vec{AA_1} + (-\vec{AA_1} + \vec{BC}) + \vec{AB}$
Сокращаем взаимоуничтожающиеся векторы $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$:
$\vec{x} = \vec{BC} + \vec{AB}$
Переставляем слагаемые и применяем правило сложения векторов (правило треугольника):
$\vec{x} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
Таким образом, искомый вектор $\vec{x}$ равен вектору $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{x} = \vec{AC}$.

б)

Дано векторное уравнение: $\vec{AC_1} - \vec{BB_1} + \vec{x} = \vec{AB}$.
Выразим из уравнения вектор $\vec{x}$:
$\vec{x} = \vec{AB} - \vec{AC_1} + \vec{BB_1}$
Используем свойства призмы. Во-первых, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Во-вторых, разложим диагональ боковой грани $\vec{AC_1}$ по правилу параллелограмма: $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$. Поскольку $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$, то $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}$.
Другой способ разложения: $\vec{AC_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$.
Подставим разложение $\vec{AC_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}$ и равенство $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$ в уравнение для $\vec{x}$:
$\vec{x} = \vec{AB} - (\vec{AA_1} + \vec{A_1C_1}) + \vec{AA_1}$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\vec{x} = \vec{AB} - \vec{AA_1} - \vec{A_1C_1} + \vec{AA_1}$
$\vec{x} = \vec{AB} - \vec{A_1C_1}$
Поскольку основания призмы равны и параллельны, то $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$.
$\vec{x} = \vec{AB} - \vec{AC}$
Применяем правило вычитания векторов: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
Следовательно, искомый вектор $\vec{x}$ равен вектору $\vec{CB}$.
Ответ: $\vec{x} = \vec{CB}$.

в)

Дано векторное уравнение: $\vec{AB_1} + \vec{x} = \vec{AC} - \vec{x} + \vec{BC_1}$.
Сгруппируем члены, содержащие $\vec{x}$, в левой части уравнения, а остальные - в правой:
$\vec{x} + \vec{x} = \vec{AC} + \vec{BC_1} - \vec{AB_1}$
$2\vec{x} = \vec{AC} + \vec{BC_1} - \vec{AB_1}$
Упростим правую часть уравнения. Используем правило вычитания векторов: $\vec{AC} - \vec{AB_1} = \vec{B_1C}$.
$2\vec{x} = \vec{B_1C} + \vec{BC_1}$
Чтобы найти сумму $\vec{B_1C} + \vec{BC_1}$, разложим оба вектора по правилу треугольника, используя вершины призмы.
$\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BC}$
$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$
Теперь сложим эти два выражения:
$\vec{B_1C} + \vec{BC_1} = (\vec{B_1B} + \vec{BC}) + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) = \vec{B_1B} + 2\vec{BC} + \vec{CC_1}$
В призме векторы боковых ребер $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ равны, а вектор $\vec{B_1B}$ противоположен им: $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{CC_1}$.
Тогда $\vec{B_1B} + \vec{CC_1} = -\vec{CC_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$.
Следовательно, сумма векторов равна:
$\vec{B_1C} + \vec{BC_1} = 2\vec{BC}$
Подставим это в наше уравнение для $\vec{x}$:
$2\vec{x} = 2\vec{BC}$
Разделив обе части на 2, получим:
$\vec{x} = \vec{BC}$
Ответ: $\vec{x} = \vec{BC}$.