Номер 573, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

573. Даны точки А, В, С и D. Представьте вектор AB в виде алгебраической суммы следующих векторов:

Для решения этой задачи мы будем использовать правило сложения векторов (правило Шаля или правило многоугольника) и свойство противоположных векторов.

Правило Шаля гласит, что для любых трех точек X, Y, Z справедливо равенство: $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

Свойство противоположных векторов: $\vec{XY} = -\vec{YX}$.

Наша цель — выразить вектор $\vec{AB}$ через заданный набор векторов для каждого пункта.

а)

Требуется представить вектор $\vec{AB}$ в виде алгебраической суммы векторов $\vec{AC}$, $\vec{DC}$ и $\vec{BD}$.

Мы можем представить вектор $\vec{AB}$ как сумму векторов, проходящих через точки C и D. Один из возможных путей — из A в C, из C в D, из D в B. По правилу Шаля это неверный путь, так как $\vec{AC}+\vec{CD}+\vec{DB} = \vec{AB}$. Попробуем другой путь: из A в D, а затем из D в B.

Запишем $\vec{AB}$ как сумму: $\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB}$.

Теперь представим вектор $\vec{AD}$ через точку C: $\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{CD}$.

Подставим это в наше выражение для $\vec{AB}$: $\vec{AB} = (\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DB} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}$.

Теперь нам нужно выразить векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DB}$ через заданные в условии $\vec{DC}$ и $\vec{BD}$.

Используем свойство противоположных векторов:

$\vec{CD} = -\vec{DC}$

$\vec{DB} = -\vec{BD}$

Подставим эти выражения в полученную сумму:

$\vec{AB} = \vec{AC} + (-\vec{DC}) + (-\vec{BD}) = \vec{AC} - \vec{DC} - \vec{BD}$.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{DC} - \vec{BD}$.

б)

Требуется представить вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$.

Представим вектор $\vec{AB}$ как сумму векторов по ломаной A-D-C-B. По правилу многоугольника (обобщенному правилу Шаля):

$\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}$.

Теперь сравним полученные векторы с теми, что даны в условии. Векторы $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$ уже есть в нашем выражении. Нам нужно выразить $\vec{AD}$ через $\vec{DA}$.

По свойству противоположных векторов: $\vec{AD} = -\vec{DA}$.

Подставим это в нашу сумму:

$\vec{AB} = (-\vec{DA}) + \vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DC} + \vec{CB} - \vec{DA}$.

Ответ: $\vec{AB} = \vec{DC} + \vec{CB} - \vec{DA}$.

в)

Требуется представить вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{CD}$ и $\vec{BC}$.

Мы можем использовать то же разложение, что и в пункте б):

$\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}$.

Теперь выразим каждый вектор в этой сумме через векторы, заданные в условии ($\vec{DA}$, $\vec{CD}$, $\vec{BC}$), используя свойство противоположных векторов:

$\vec{AD} = -\vec{DA}$

$\vec{DC} = -\vec{CD}$

$\vec{CB} = -\vec{BC}$

Подставим все эти выражения в разложение для $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-\vec{DA}) + (-\vec{CD}) + (-\vec{BC}) = -\vec{DA} - \vec{CD} - \vec{BC}$.

Ответ: $\vec{AB} = -\vec{DA} - \vec{CD} - \vec{BC}$.