Номер 566, страница 148 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

566. Назовите все векторы, образованные рёбрами параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, которые: а) противоположны вектору CB; б) противоположны вектору B₁A; в) равны вектору −DC; г) равны вектору −A₁B₁.

Для решения задачи воспользуемся определениями равных и противоположных векторов, а также свойствами параллелепипеда. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются параллелограммами. Это означает, что противоположные рёбра на каждой грани параллельны и равны по длине. Кроме того, все боковые рёбра ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) параллельны и равны друг другу.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны.

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны. Вектор, противоположный вектору $\vec{v}$, обозначается как $-\vec{v}$. Например, $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

а) противоположны вектору $\vec{CB}$

Векторы, противоположные вектору $\vec{CB}$, должны быть сонаправлены с вектором $\vec{BC}$ и равны ему по длине. То есть нам нужно найти все векторы, равные вектору $\vec{BC}$.

Рёбра, параллельные и равные ребру $BC$, это $AD$, $B_1C_1$ и $A_1D_1$.

Рассмотрим векторы, образованные этими рёбрами:

• Вектор $\vec{BC}$ — исходный вектор, противоположный $\vec{CB}$.
• В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.
• В параллелограмме $BCC_1B_1$ вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$.
• В параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{A_1D_1}$ равен вектору $\vec{B_1C_1}$, а значит, и вектору $\vec{BC}$.

Таким образом, все векторы, противоположные вектору $\vec{CB}$, это $\vec{BC}$, $\vec{AD}$, $\vec{B_1C_1}$ и $\vec{A_1D_1}$.

Ответ: $\vec{BC}$, $\vec{AD}$, $\vec{B_1C_1}$, $\vec{A_1D_1}$.

б) противоположны вектору $\vec{B_1A}$

Вектор $\vec{B_1A}$ соединяет вершины $B_1$ и $A$ и является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Векторы, образованные рёбрами параллелепипеда, не могут быть равны или противоположны диагонали грани (в невырожденном случае), так как их длины и/или направления не совпадают.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Логично предположить, что имелся в виду вектор, образованный ребром, например, $\vec{B_1B}$ или $\vec{B_1A_1}$. Рассмотрим вариант, что имелся в виду вектор $\vec{B_1B}$, так как другие пункты задачи рассматривают векторы вдоль двух других направлений рёбер.

Вектор, противоположный вектору $\vec{B_1B}$, это вектор $\vec{BB_1}$. Нам нужно найти все векторы, равные $\vec{BB_1}$.

Боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны и равны по длине. Векторы, направленные вдоль этих рёбер от нижнего основания к верхнему, равны между собой. Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

Ответ: $\vec{BB_1}$, $\vec{AA_1}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{DD_1}$.

в) равны вектору $-\vec{DC}$

Вектор $-\vec{DC}$ равен вектору $\vec{CD}$. Следовательно, нам нужно найти все векторы, образованные рёбрами параллелепипеда, которые равны вектору $\vec{CD}$.

Рёбра, параллельные и равные ребру $CD$, это $BA$, $C_1D_1$ и $B_1A_1$.

Рассмотрим векторы, образованные этими рёбрами:

• Вектор $\vec{CD}$ — искомый вектор.
• В параллелограмме $ABCD$ имеем $\vec{AB} = \vec{DC}$, откуда $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{DC} = \vec{CD}$.
• В параллелограмме $CDD_1C_1$ вектор $\vec{C_1D_1}$ равен вектору $\vec{CD}$.
• В параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{B_1A_1}$ равен вектору $\vec{C_1D_1}$, а значит, и вектору $\vec{CD}$.

Таким образом, искомые векторы: $\vec{CD}$, $\vec{BA}$, $\vec{C_1D_1}$ и $\vec{B_1A_1}$.

Ответ: $\vec{CD}$, $\vec{BA}$, $\vec{C_1D_1}$, $\vec{B_1A_1}$.

г) равны вектору $-\vec{A_1B_1}$

Вектор $-\vec{A_1B_1}$ равен вектору $\vec{B_1A_1}$. Нам нужно найти все векторы, образованные рёбрами параллелепипеда, которые равны вектору $\vec{B_1A_1}$.

Как было установлено в пункте (в), векторы $\vec{CD}$, $\vec{BA}$, $\vec{C_1D_1}$ и $\vec{B_1A_1}$ равны между собой.

Следовательно, векторы, равные вектору $\vec{B_1A_1}$, это $\vec{BA}$ (из параллелограмма $ABB_1A_1$), $\vec{C_1D_1}$ (из параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$) и $\vec{CD}$ (поскольку $\vec{CD} = \vec{BA}$).

Таким образом, искомые векторы: $\vec{B_1A_1}$, $\vec{BA}$, $\vec{CD}$, $\vec{C_1D_1}$.

Ответ: $\vec{B_1A_1}$, $\vec{BA}$, $\vec{CD}$, $\vec{C_1D_1}$.