Номер 564, страница 148 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Векторы в пространстве. Параграф 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - номер 564, страница 148.

Условие.

564. На рисунке 157 изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде и правилами сложения векторов (правило треугольника и правило параллелограмма).

Основные свойства: векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам параллелепипеда, равны. Например, $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$.

а) $\vec{AB} + \vec{A_1D_1}$

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{A_1D_1}$ равен вектору $\vec{AD}$, так как они сонаправлены и их длины равны (противоположные стороны параллелограмма $ADD_1A_1$).

Заменим в сумме вектор $\vec{A_1D_1}$ на $\vec{AD}$:

$\vec{AB} + \vec{A_1D_1} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, выходящих из одной точки $A$, находим по правилу параллелограмма. Эта сумма равна вектору диагонали параллелограмма $ABCD$, исходящей из вершины $A$.

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$.

б) $\vec{AB} + \vec{AD_1}$

Разложим вектор $\vec{AD_1}$ по правилу треугольника в треугольнике $ADD_1$: $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\vec{AB} + \vec{AD_1} = \vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{DD_1}) = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{DD_1}$

Как мы нашли в пункте (а), сумма $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$. Тогда выражение принимает вид:

$\vec{AC} + \vec{DD_1}$

Вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{CC_1}$ (параллельные ребра). Заменяем:

$\vec{AC} + \vec{CC_1}$

По правилу треугольника (правило последовательного соединения векторов), эта сумма равна $\vec{AC_1}$.

Ответ: $\vec{AC_1}$.

в) $\vec{DA} + \vec{B_1B}$

Для удобства сложения заменим векторы на равные им. Вектор $\vec{DA}$ равен вектору $\vec{C_1B_1}$ (так как $\vec{AD} = \vec{B_1C_1}$, а $\vec{DA} = -\vec{AD}$ и $\vec{C_1B_1} = -\vec{B_1C_1}$).

Заменим в сумме вектор $\vec{DA}$ на $\vec{C_1B_1}$:

$\vec{DA} + \vec{B_1B} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1B}$

Векторы $\vec{C_1B_1}$ и $\vec{B_1B}$ соединены последовательно (конец первого является началом второго). По правилу треугольника, их сумма равна вектору, идущему от начала первого к концу второго.

$\vec{C_1B_1} + \vec{B_1B} = \vec{C_1B}$

Ответ: $\vec{C_1B}$.

г) $\vec{DD_1} + \vec{DB}$

Оба вектора, $\vec{DD_1}$ и $\vec{DB}$, выходят из одной точки $D$. Рассмотрим четырехугольник $DBB_1D_1$. Так как $\vec{DD_1}$ параллелен и равен $\vec{BB_1}$, а $\vec{DB}$ параллелен и равен $\vec{D_1B_1}$, то $DBB_1D_1$ — параллелограмм.

По правилу параллелограмма, сумма векторов $\vec{DD_1}$ и $\vec{DB}$ равна вектору диагонали этого параллелограмма, выходящей из их общего начала $D$.

$\vec{DD_1} + \vec{DB} = \vec{DB_1}$

Ответ: $\vec{DB_1}$.

д) $\vec{DB_1} + \vec{BC}$

Заменим вектор $\vec{BC}$ на равный ему вектор $\vec{B_1C_1}$ (противоположные стороны грани $BCC_1B_1$).

$\vec{DB_1} + \vec{BC} = \vec{DB_1} + \vec{B_1C_1}$

Конец вектора $\vec{DB_1}$ (точка $B_1$) совпадает с началом вектора $\vec{B_1C_1}$. Применим правило треугольника:

$\vec{DB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{DC_1}$

Ответ: $\vec{DC_1}$.