Номер 563, страница 144 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

563. На рисунке 157 изображён параллелепипед, точки М и K — середины рёбер B₁C₁ и A₁D₁. Назовите вектор, который получится, если отложить:

а) В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все боковые рёбра параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим рёбрам, равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Чтобы отложить от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{DD_1}$, нужно найти точку $P$ такую, что $\vec{CP} = \vec{DD_1}$. Так как $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$, то искомый вектор начинается в точке $C$ и заканчивается в точке $C_1$. Таким образом, это вектор $\vec{CC_1}$.
Ответ: $\vec{CC_1}$

б) Нам нужно отложить от точки $D$ вектор, равный $\vec{CM}$. Это значит, что мы ищем вектор, начинающийся в точке $D$, который равен вектору $\vec{CM}$. Для этого найдём конечную точку искомого вектора. Выразим вектор $\vec{CM}$ через рёбра параллелепипеда, используя правило сложения векторов: $\vec{CM} = \vec{CC_1} + \vec{C_1M}$. По условию, точка $M$ является серединой ребра $B_1C_1$, следовательно, $\vec{C_1M} = \frac{1}{2}\vec{C_1B_1}$. В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным рёбрам, равны, поэтому $\vec{C_1B_1} = \vec{DA}$. Значит, $\vec{C_1M} = \frac{1}{2}\vec{DA}$. Также в параллелепипеде $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Подставив полученные равенства, получим: $\vec{CM} = \vec{DD_1} + \frac{1}{2}\vec{DA}$. Вектор, отложенный от точки $D$, должен быть равен этому выражению. Пусть его конечная точка - $P$. Тогда $\vec{DP} = \vec{DD_1} + \frac{1}{2}\vec{DA}$. Рассмотрим вектор $\vec{DK}$. По правилу треугольника $\vec{DK} = \vec{DD_1} + \vec{D_1K}$. Точка $K$ - середина ребра $A_1D_1$, значит $\vec{D_1K} = \frac{1}{2}\vec{D_1A_1}$. Так как $\vec{D_1A_1} = \vec{DA}$, то $\vec{D_1K} = \frac{1}{2}\vec{DA}$. Следовательно, $\vec{DK} = \vec{DD_1} + \frac{1}{2}\vec{DA}$. Сравнивая выражения для $\vec{DP}$ и $\vec{DK}$, видим, что они равны. Значит, точка $P$ совпадает с точкой $K$, и искомый вектор - это $\vec{DK}$.
Ответ: $\vec{DK}$

в) Грани $ABCD$ (нижнее основание) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхнее основание) параллелепипеда являются параллельными и равными параллелограммами. Это означает, что их соответствующие диагонали также параллельны и равны, то есть векторы, лежащие на этих диагоналях, равны: $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$. Чтобы отложить от точки $A_1$ вектор, равный $\vec{AC}$, мы ищем вектор $\vec{A_1P}$ такой, что $\vec{A_1P} = \vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$, то искомый вектор - это $\vec{A_1C_1}$.
Ответ: $\vec{A_1C_1}$

г) В параллелепипеде рёбра $CB$ и $C_1B_1$ параллельны и равны. Векторы $\vec{CB}$ и $\vec{C_1B_1}$ сонаправлены и равны по модулю, следовательно, $\vec{CB} = \vec{C_1B_1}$. Чтобы отложить от точки $C_1$ вектор, равный $\vec{CB}$, мы ищем вектор $\vec{C_1P}$ такой, что $\vec{C_1P} = \vec{CB}$. Так как $\vec{CB} = \vec{C_1B_1}$, то искомый вектор - это $\vec{C_1B_1}$.
Ответ: $\vec{C_1B_1}$

д) Нам нужно отложить от точки $M$ вектор, равный $\vec{KA_1}$. Это означает, что мы ищем вектор $\vec{MP}$ такой, что $\vec{MP} = \vec{KA_1}$. Точка $K$ является серединой ребра $A_1D_1$. Вектор $\vec{KA_1}$ направлен от середины отрезка $A_1D_1$ к его концу $A_1$. Следовательно, $\vec{KA_1} = \frac{1}{2}\vec{D_1A_1}$. В параллелепипеде рёбра $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны и равны, и векторы $\vec{D_1A_1}$ и $\vec{C_1B_1}$ равны. Таким образом, $\vec{KA_1} = \frac{1}{2}\vec{C_1B_1}$. Теперь рассмотрим точку $M$, которая является серединой ребра $B_1C_1$. Вектор $\vec{MB_1}$ направлен от середины отрезка $B_1C_1$ к его концу $B_1$. Следовательно, $\vec{MB_1} = \frac{1}{2}\vec{C_1B_1}$. Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $\vec{KA_1} = \vec{MB_1}$. Значит, вектор, отложенный от точки $M$ и равный вектору $\vec{KA_1}$, является вектором $\vec{MB_1}$.
Ответ: $\vec{MB_1}$