Номер 561, страница 144 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

561. Справедливо ли утверждение:

а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой;

б) два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены;

в) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены?

а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой;

Данное утверждение справедливо. Свойство векторов быть коллинеарными является транзитивным.

Приведем доказательство. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны ненулевому вектору $\vec{c}$. По определению коллинеарности векторов, это означает, что существуют такие действительные числа $k_1$ и $k_2$, для которых выполняются равенства: $\vec{a} = k_1 \vec{c}$ и $\vec{b} = k_2 \vec{c}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если один из векторов, например $\vec{a}$, является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$), то $k_1 = 0$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, в том числе и вектору $\vec{b}$. Следовательно, в этом случае утверждение верно.

2. Если оба вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$, ненулевые, то коэффициенты $k_1 \ne 0$ и $k_2 \ne 0$. Поскольку по условию вектор $\vec{c}$ ненулевой, мы можем выразить его из первого равенства: $\vec{c} = \frac{1}{k_1} \vec{a}$. Теперь подставим это выражение во второе равенство: $\vec{b} = k_2 \left(\frac{1}{k_1} \vec{a}\right) = \frac{k_2}{k_1} \vec{a}$.

Обозначив $k = \frac{k_2}{k_1}$, мы получим равенство вида $\vec{b} = k \vec{a}$. Это и есть математическое определение коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Да, утверждение справедливо.

б) два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены;

Данное утверждение справедливо. Свойство сонаправленности векторов также является транзитивным.

Докажем это. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены с ненулевым вектором $\vec{c}$. Обозначим это как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{c}$ и $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{c}$.

По определению сонаправленных векторов, существуют такие положительные числа $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$, что $\vec{a} = k_1 \vec{c}$ и $\vec{b} = k_2 \vec{c}$. (Важно отметить, что если вектор сонаправлен с ненулевым вектором, он сам не может быть нулевым).

Аналогично предыдущему пункту, выразим вектор $\vec{c}$ из первого равенства $\vec{c} = \frac{1}{k_1} \vec{a}$ и подставим во второе: $\vec{b} = k_2 \left(\frac{1}{k_1} \vec{a}\right) = \frac{k_2}{k_1} \vec{a}$.

Обозначим $k = \frac{k_2}{k_1}$. Так как по условию оба числа $k_1$ и $k_2$ положительны, их отношение $k$ также будет положительным ($k > 0$). Таким образом, мы получили равенство $\vec{b} = k \vec{a}$, где $k > 0$, что является определением сонаправленности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Ответ: Да, утверждение справедливо.

в) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены?

Нет, данное утверждение несправедливо. Коллинеарность означает лишь, что векторы параллельны, но они могут быть направлены как в одну сторону (сонаправлены), так и в противоположные.

Приведем контрпример. Пусть дан некоторый ненулевой вектор $\vec{c}$. Рассмотрим вектор $\vec{a} = 2\vec{c}$. Вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$ и сонаправлен с ним, так как коэффициент $2 > 0$. Теперь рассмотрим вектор $\vec{b} = -3\vec{c}$. Вектор $\vec{b}$ также коллинеарен вектору $\vec{c}$, но направлен в противоположную сторону, так как коэффициент $-3 < 0$.

Оба вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$, коллинеарны вектору $\vec{c}$. Теперь проверим их взаимное направление. Из соотношения $\vec{a} = 2\vec{c}$ выразим $\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{a}$. Подставим это выражение в соотношение для $\vec{b}$: $\vec{b} = -3\vec{c} = -3\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) = -\frac{3}{2}\vec{a}$.

Мы получили, что вектор $\vec{b}$ выражается через вектор $\vec{a}$ с помощью отрицательного коэффициента $k = -\frac{3}{2}$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$), а не сонаправлены.

Ответ: Нет, не обязательно. Они могут быть как сонаправлены, так и противоположно направлены.