Номер 559, страница 144 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

559. На рисунке 157 изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки М и K — середины рёбер B₁C₁ и A₁D₁. Укажите на этом рисунке все пары:

а) сонаправленных векторов;

б) противоположно направленных векторов;

в) равных векторов.

а) сонаправленных векторов;

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы (лежащие на одной прямой или на параллельных прямых), которые направлены в одну и ту же сторону. В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным рёбрам, коллинеарны.

На данном рисунке можно выделить две группы сонаправленных векторов:

1. Векторы, параллельные боковому ребру $AA_1$. Это векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$. Все они направлены вверх, следовательно, они сонаправлены друг другу.

2. Векторы, параллельные ребру $AD$. Это векторы $\vec{AD}$, $\vec{BC}$. Также к этой группе относятся векторы $\vec{A_1K}$, $\vec{KD_1}$, $\vec{B_1M}$ и $\vec{MC_1}$, так как рёбра $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны ребру $AD$. Все эти векторы имеют одинаковое направление в пространстве. Следовательно, любые два вектора из этого набора сонаправлены.

Ответ: Парами сонаправленных векторов являются:

• Любая пара векторов из множества $\{\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}, \vec{DD_1}\}$. Например: $(\vec{AA_1}, \vec{BB_1})$, $(\vec{BB_1}, \vec{DD_1})$ и т.д. Всего 6 пар.
• Любая пара векторов из множества $\{\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}\}$. Например: $(\vec{AD}, \vec{BC})$, $(\vec{A_1K}, \vec{B_1M})$, $(\vec{AD}, \vec{MC_1})$ и т.д. Всего 15 пар.

б) противоположно направленных векторов;

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, которые направлены в противоположные стороны.

На рисунке все векторы, лежащие на параллельных прямых, направлены в одну сторону:

• Векторы $\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}, \vec{DD_1}$ направлены вверх.
• Векторы $\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}$ направлены в одну и ту же сторону (условно "вперёд-вправо").

На рисунке нет векторов, направленных в противоположные стороны (например, $\vec{A_1A}$ или $\vec{DA}$), поэтому пар противоположно направленных векторов нет.

Ответ: На данном рисунке нет пар противоположно направленных векторов.

в) равных векторов.

Равные векторы — это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину (модуль).

Рассмотрим группы сонаправленных векторов, найденные в пункте а):

1. Группа $\{\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}, \vec{DD_1}\}$. В параллелепипеде длины параллельных рёбер равны: $|\vec{AA_1}| = |\vec{BB_1}| = |\vec{CC_1}| = |\vec{DD_1}|$. Так как эти векторы сонаправлены, они все равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

2. Группа $\{\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}\}$. Сравним их длины.

• В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $|\vec{AD}| = |\vec{BC}|$. Так как векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, то $\vec{AD} = \vec{BC}$.
• Так как $K$ — середина ребра $A_1D_1$, то $|\vec{A_1K}| = |\vec{KD_1}| = \frac{1}{2} |A_1D_1|$.
• Так как $M$ — середина ребра $B_1C_1$, то $|\vec{B_1M}| = |\vec{MC_1}| = \frac{1}{2} |B_1C_1|$.
• В параллелепипеде $|A_1D_1| = |B_1C_1|$, следовательно, $|\vec{A_1K}| = |\vec{KD_1}| = |\vec{B_1M}| = |\vec{MC_1}|$. Поскольку эти четыре вектора сонаправлены, они равны между собой: $\vec{A_1K} = \vec{KD_1} = \vec{B_1M} = \vec{MC_1}$.
• Длина векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равна $|A_1D_1|$, а длина векторов $\vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}$ равна $\frac{1}{2}|A_1D_1|$. Поэтому вектор $\vec{AD}$ (или $\vec{BC}$) не равен ни одному из векторов $\vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}$.

Ответ: Парами равных векторов являются:

• Любая пара векторов из множества $\{\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}, \vec{DD_1}\}$. Всего 6 пар: $(\vec{AA_1}, \vec{BB_1})$, $(\vec{AA_1}, \vec{CC_1})$, $(\vec{AA_1}, \vec{DD_1})$, $(\vec{BB_1}, \vec{CC_1})$, $(\vec{BB_1}, \vec{DD_1})$, $(\vec{CC_1}, \vec{DD_1})$.
• Пара $(\vec{AD}, \vec{BC})$.
• Любая пара векторов из множества $\{\vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}\}$. Всего 6 пар: $(\vec{A_1K}, \vec{KD_1})$, $(\vec{A_1K}, \vec{B_1M})$, $(\vec{A_1K}, \vec{MC_1})$, $(\vec{KD_1}, \vec{B_1M})$, $(\vec{KD_1}, \vec{MC_1})$, $(\vec{B_1M}, \vec{MC_1})$.