Номер 553, страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи. Глава 5. Объёмы тел - номер 553, страница 141.

Условие.

553. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол β. Найдите площадь поверхности и объём шара.

Решение 2.

Решение 6.

Для нахождения площади поверхности и объёма шара необходимо определить его радиус $R$.

Пусть $SABCD$ — данная пирамида, вписанная в шар, где $ABCD$ — прямоугольник в основании. Пусть $S$ — вершина пирамиды. Так как каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием один и тот же угол $\beta$, то высота пирамиды $SO$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Центром окружности, описанной около прямоугольника, является точка пересечения его диагоналей $O$.

Радиус $r$ окружности, описанной около прямоугольника-основания, равен половине его диагонали $d$. По условию $d=10$ см, следовательно:

$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Этот радиус $r$ является проекцией бокового ребра на плоскость основания. Например, для бокового ребра $SA$, его проекцией будет отрезок $OA$, и $OA=r=5$ см. Угол между боковым ребром $SA$ и основанием — это угол $\angle SAO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$. Из него мы можем найти длину бокового ребра $l = SA$:

$\cos\beta = \frac{OA}{SA} \implies SA = \frac{OA}{\cos\beta} = \frac{5}{\cos\beta}$ см.

Все вершины пирамиды лежат на поверхности шара. Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой окружность, описанную около равнобедренного треугольника $\triangle SAC$. Эта окружность является большим кругом шара, и её радиус равен радиусу шара $R$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности треугольника $\triangle SAC$. Стороны этого треугольника: $AC = 10$ см, $SA = SC = l = \frac{5}{\cos\beta}$ см.

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4K}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $K$ — его площадь.

Найдем высоту треугольника $\triangle SAC$, проведенную из вершины $S$, которая является высотой пирамиды $SO$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SAO$:

$SO = OA \cdot \tan\beta = 5 \tan\beta$ см.

Площадь треугольника $\triangle SAC$:

$K = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 \tan\beta = 25 \tan\beta$ см?.

Теперь вычислим радиус шара $R$:

$R = \frac{SA \cdot SC \cdot AC}{4K} = \frac{\frac{5}{\cos\beta} \cdot \frac{5}{\cos\beta} \cdot 10}{4 \cdot 25 \tan\beta} = \frac{\frac{250}{\cos^2\beta}}{100 \tan\beta} = \frac{250}{100 \cos^2\beta \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{2.5}{\sin\beta\cos\beta}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta$, получим:

$R = \frac{2.5}{\frac{1}{2}\sin(2\beta)} = \frac{5}{\sin(2\beta)}$ см.

Теперь, зная радиус шара, можем найти его площадь поверхности и объём.

Площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

$S = 4\pi \left(\frac{5}{\sin(2\beta)}\right)^2 = 4\pi \frac{25}{\sin^2(2\beta)} = \frac{100\pi}{\sin^2(2\beta)}$ см?.

Ответ: $S = \frac{100\pi}{\sin^2(2\beta)}$ см?.

Объём шара

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{5}{\sin(2\beta)}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{125}{\sin^3(2\beta)} = \frac{500\pi}{3\sin^3(2\beta)}$ см?.

Ответ: $V = \frac{500\pi}{3\sin^3(2\beta)}$ см?.