Номер 551, страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи. Глава 5. Объёмы тел - номер 551, страница 141.

Условие.

551. В шар вписан конус, радиус основания которого равен r, а высота равна Н. Найдите площадь поверхности и объём шара.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения задачи введём радиус шара $R$. Чтобы связать его с параметрами конуса ($r$ — радиус основания, $H$ — высота), рассмотрим осевое сечение всей системы. В сечении шар представляет собой окружность радиуса $R$, а вписанный конус — равнобедренный треугольник с высотой $H$ и основанием $2r$, вписанный в эту окружность.

Пусть центр шара (и окружности в сечении) — точка $O$. Вершина конуса — точка $A$, а центр его основания — точка $C$. Тогда высота конуса — это отрезок $AC=H$. Точка $O$ лежит на прямой $AC$. Пусть точка $B$ лежит на окружности основания конуса. В сечении это одна из вершин основания равнобедренного треугольника. Тогда $CB=r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OCB$. Его гипотенуза $OB$ является радиусом шара, $OB=R$. Один катет $CB$ является радиусом основания конуса, $CB=r$. Второй катет $OC$ — это расстояние от центра шара до центра основания конуса. Длину этого катета можно выразить как $|H - AO| = |H-R|$, поскольку $AO$ также является радиусом шара.

По теореме Пифагора для треугольника $OCB$ имеем:

$OB^2 = OC^2 + CB^2$

$R^2 = (H-R)^2 + r^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:

$R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + r^2$

$2HR = H^2 + r^2$

$R = \frac{H^2 + r^2}{2H}$

Теперь, когда мы выразили радиус шара $R$ через известные величины $r$ и $H$, можем найти площадь его поверхности и объём.

Площадь поверхности шара

Формула площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$. Подставим найденное выражение для $R$:

$S = 4\pi \left(\frac{H^2 + r^2}{2H}\right)^2 = 4\pi \frac{(H^2 + r^2)^2}{4H^2} = \pi \frac{(H^2 + r^2)^2}{H^2}$

Ответ: $S = \pi \frac{(H^2 + r^2)^2}{H^2}$

Объём шара

Формула объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим найденное выражение для $R$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{H^2 + r^2}{2H}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{(H^2 + r^2)^3}{8H^3} = \frac{4\pi(H^2 + r^2)^3}{24H^3} = \frac{\pi(H^2 + r^2)^3}{6H^3}$

Ответ: $V = \frac{\pi(H^2 + r^2)^3}{6H^3}$