Номер 545, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

545. В конус, радиус основания которого равен r, а образующая равна l, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Линия, по которой вписанная сфера касается боковой поверхности конуса, является окружностью. Эта окружность лежит в плоскости, параллельной основанию конуса. Для нахождения ее длины нам необходимо определить ее радиус.

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2r$ (диаметр основания конуса) и боковыми сторонами $l$ (образующие конуса). В этот треугольник вписана окружность, являющаяся большим кругом вписанной сферы.

Пусть осевое сечение конуса — это треугольник $ASB$, где $S$ — вершина конуса, $AB$ — диаметр основания. $O$ — центр основания, $SO$ — высота конуса. Таким образом, $SA = l$ и $AO = r$.

Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности (сечения сферы) и боковой стороны $AS$ (образующей конуса). В трехмерном пространстве все такие точки касания образуют искомую окружность. Радиус этой окружности, обозначим его $r_k$, — это расстояние от точки $K$ до оси конуса $SO$.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Из точки $A$ (точка на окружности основания конуса) проведены касательные к большому кругу вписанной сферы. Одна касательная — это отрезок образующей $AK$. Другая касательная — это радиус основания $AO$, так как сфера касается плоскости основания в его центре $O$. Следовательно, их длины равны: $AK = AO = r$.

Точка $K$ лежит на образующей $SA$. Длина отрезка от вершины конуса до точки касания $K$ равна: $SK = SA - AK = l - r$.

Теперь рассмотрим подобные прямоугольные треугольники. Пусть $P$ — проекция точки $K$ на высоту $SO$. Тогда $KP$ — это и есть искомый радиус $r_k$. Треугольник $\triangle SKP$ подобен треугольнику $\triangle SAO$ (по общему острому углу при вершине $S$).

Из подобия треугольников следует соотношение соответствующих сторон: $\frac{KP}{AO} = \frac{SK}{SA}$

Подставим известные нам значения: $KP = r_k$, $AO = r$, $SK = l - r$ и $SA = l$. $\frac{r_k}{r} = \frac{l-r}{l}$

Отсюда выразим радиус окружности касания $r_k$: $r_k = \frac{r(l-r)}{l}$

Длина линии касания — это длина окружности с радиусом $r_k$. Найдем ее по формуле $L = 2\pi r_k$: $L = 2\pi \cdot \frac{r(l-r)}{l} = \frac{2\pi r(l-r)}{l}$

Ответ: $\frac{2\pi r(l-r)}{l}$