gdz.top
Номер 539, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Объёмы тел. Параграф 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи - номер 539, страница 140.
№538
№539 (с. 140)
Условие. №539 (с. 140)
539. Докажите, что объёмы двух цилиндров, у которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы.
Решение 2. №539 (с. 140)
Решение 6. №539 (с. 140)
Доказательство
Рассмотрим два цилиндра. Пусть параметры первого цилиндра (радиус основания и высота) будут $r_1$ и $h_1$, а второго — $r_2$ и $h_2$ соответственно.
Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$.
Для наших двух цилиндров имеем:
Объем первого цилиндра: $V_1 = \pi r_1^2 h_1$
Площадь боковой поверхности первого цилиндра: $S_{бок1} = 2 \pi r_1 h_1$
Объем второго цилиндра: $V_2 = \pi r_2^2 h_2$
Площадь боковой поверхности второго цилиндра: $S_{бок2} = 2 \pi r_2 h_2$
По условию задачи, площади их боковых поверхностей равны: $$S_{бок1} = S_{бок2}$$ $$2 \pi r_1 h_1 = 2 \pi r_2 h_2$$
Сократим обе части равенства на $2\pi$: $$r_1 h_1 = r_2 h_2$$ Из этого соотношения мы можем выразить отношение высот цилиндров через отношение их радиусов: $$\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2}{r_1}$$
Теперь найдем отношение объемов этих двух цилиндров: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2}$$
Сократим $\pi$ и перегруппируем множители: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{h_1}{h_2}$$
Подставим в полученное выражение найденное ранее отношение высот $\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2}{r_1}$: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{r_2}{r_1}$$
Сократим дроби, используя свойства степеней: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2}$$
Таким образом, мы доказали, что отношение объемов двух цилиндров с равными площадями боковых поверхностей равно отношению их радиусов. Что и требовалось доказать.
Ответ: Отношение объемов двух цилиндров с равными площадями боковых поверхностей равно отношению их радиусов: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 539 расположенного на странице 140 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №539 (с. 140), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.