Номер 535, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Объёмы тел. Параграф 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи - номер 535, страница 140.

Условие.

535. Основанием пирамиды является ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют тупой двугранный угол φ. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания двугранные углы θ. Найдите объём пирамиды.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основанием является ромб $ABCD$ со стороной $a$, а $S$ — вершина пирамиды.

По условию, две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Пусть это будут смежные грани $SAB$ и $SAD$. Если две плоскости ($SAB$ и $SAD$) перпендикулярны третьей плоскости ($ABCD$), то их линия пересечения ($SA$) также перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, ребро $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим высоту $H = SA$.

Эти же грани $SAB$ и $SAD$ образуют между собой тупой двугранный угол $\phi$. Ребром этого двугранного угла является прямая $SA$. Так как $SA$ перпендикулярна плоскости основания, то линейным углом этого двугранного угла будет угол между лучами $AB$ и $AD$, то есть $\angle BAD$. Следовательно, тупой угол ромба $\angle BAD = \phi$.

Площадь основания пирамиды $S_{осн}$ — это площадь ромба $ABCD$. Её можно вычислить по формуле площади параллелограмма:$S_{осн} = a \cdot a \cdot \sin(\angle BAD) = a^2 \sin(\phi)$.

Две другие боковые грани, $SBC$ и $SDC$, составляют с плоскостью основания двугранные углы, равные $\theta$. Рассмотрим двугранный угол между гранью $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $BC$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла проведём перпендикуляр из точки $A$ (основания высоты пирамиды) к прямой $BC$ в плоскости основания. Пусть $AK \perp BC$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $SA$ — перпендикуляр к плоскости $ABCD$, а $AK$ — проекция наклонной $SK$ на эту плоскость, и $AK \perp BC$, то и наклонная $SK \perp BC$.Следовательно, угол $\angle SKA$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SBC$ и основанием. По условию, $\angle SKA = \theta$.

Теперь найдем длину отрезка $AK$. $AK$ — это расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$. В ромбе $ABCD$ расстояние между параллельными сторонами $AD$ и $BC$ является высотой ромба $h_{ромба}$. Острый угол ромба равен $180^\circ - \phi$. Тогда высота ромба $h_{ромба} = a \sin(180^\circ - \phi) = a \sin(\phi)$. Поскольку точка $A$ лежит на прямой $AD$, расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно высоте ромба. Таким образом, $AK = a \sin(\phi)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAK$ (угол $\angle SAK = 90^\circ$, так как $SA$ — высота пирамиды). Из определения тангенса угла:$\tan(\angle SKA) = \frac{SA}{AK}$$\tan(\theta) = \frac{H}{a \sin(\phi)}$Отсюда находим высоту пирамиды $H$:$H = a \sin(\phi) \tan(\theta)$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Подставим найденные значения площади основания и высоты:$V = \frac{1}{3} (a^2 \sin(\phi)) \cdot (a \sin(\phi) \tan(\theta))$$V = \frac{1}{3} a^3 \sin^2(\phi) \tan(\theta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} a^3 \sin^2(\phi) \tan(\theta)$.