Номер 532, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

532. В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен α, а сторона основания равна а. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для нахождения объёма данной пирамиды нам необходимо выразить $S_{осн}$ и $H$ через заданные параметры $n$, $a$ и $\alpha$.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

В основании пирамиды лежит правильный $n$-угольник со стороной $a$. Площадь правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{n a^2}{4} \cot(\frac{\pi}{n})$

Здесь $\frac{\pi}{n}$ — это половина центрального угла, опирающегося на сторону основания.

2. Нахождение высоты пирамиды ($H$)

Высоту пирамиды $H$ удобно найти, используя апофему пирамиды (высоту боковой грани) $h_a$ и апофему основания (радиус вписанной в основание окружности) $r$.

Сначала найдём апофему пирамиды $h_a$. Боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом при вершине $\alpha$. Апофема $h_a$ является высотой этого треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и боковым ребром. Угол при вершине этого прямоугольного треугольника равен $\frac{\alpha}{2}$. Тогда:

$\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h_a}{a/2}$

Отсюда выражаем апофему:

$h_a = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь найдём апофему основания $r$. Для правильного $n$-угольника со стороной $a$ апофема равна:

$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n})$

Высота пирамиды $H$, апофема основания $r$ и апофема пирамиды $h_a$ образуют прямоугольный треугольник, где $h_a$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$H^2 + r^2 = h_a^2$

Выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{h_a^2 - r^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2} \cot\frac{\alpha}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2} \cot\frac{\pi}{n}\right)^2}$

$H = \frac{a}{2} \sqrt{\cot^2(\frac{\alpha}{2}) - \cot^2(\frac{\pi}{n})}$

Отметим, что для существования такой пирамиды необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным, что приводит к условию $\alpha < \frac{2\pi}{n}$.

3. Вычисление объёма пирамиды ($V$)

Теперь подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{n a^2}{4} \cot(\frac{\pi}{n})\right) \cdot \left(\frac{a}{2} \sqrt{\cot^2(\frac{\alpha}{2}) - \cot^2(\frac{\pi}{n})}\right)$

После перемножения коэффициентов получаем окончательное выражение для объёма:

$V = \frac{n a^3 \cot(\frac{\pi}{n})}{24} \sqrt{\cot^2(\frac{\alpha}{2}) - \cot^2(\frac{\pi}{n})}$

Ответ: $V = \frac{n a^3 \cot(\frac{\pi}{n})}{24} \sqrt{\cot^2(\frac{\alpha}{2}) - \cot^2(\frac{\pi}{n})}$.