Номер 525, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

525. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d и составляет угол φ с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы.

Обозначим нашу правильную треугольную призму как $ABCA_1B_1C_1$. Основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — это правильные треугольники, а боковые грани $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CAA_1C_1$ — равные прямоугольники.

Пусть сторона основания призмы равна $a$ (то есть $AB=BC=AC=a$), а высота призмы равна $h$ (то есть $AA_1=h$).

Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$ и её диагональ $A_1B$. По условию, её длина равна $d$, то есть $A_1B = d$. Треугольник $A_1AB$ является прямоугольным с прямым углом $A$, так как призма прямая. По теореме Пифагора имеем:
$A_1B^2 = AB^2 + AA_1^2$
$d^2 = a^2 + h^2$ (1)

По условию, диагональ $A_1B$ составляет угол $\phi$ с плоскостью другой боковой грани, например, с плоскостью $(CAA_1C_1)$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию отрезка $A_1B$ на плоскость $(CAA_1C_1)$.

Точка $A_1$ уже лежит в плоскости $(CAA_1C_1)$, поэтому её проекция — это сама точка $A_1$. Чтобы найти проекцию точки $B$, опустим из неё перпендикуляр на плоскость $(CAA_1C_1)$. Проведём в основании $ABC$ высоту $BM$ к стороне $AC$. Поскольку призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $BM$. Итак, $BM \perp AA_1$. Также, по построению $BM \perp AC$. Так как прямая $BM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AA_1$ и $AC$) в плоскости $(CAA_1C_1)$, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, точка $M$ является ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость $(CAA_1C_1)$.

Таким образом, отрезок $A_1M$ является проекцией диагонали $A_1B$ на плоскость $(CAA_1C_1)$. Угол между наклонной $A_1B$ и её проекцией $A_1M$ и есть заданный угол $\phi$, то есть $\angle BA_1M = \phi$.

Рассмотрим треугольник $A_1MB$. Так как $BM \perp (CAA_1C_1)$, то $BM \perp A_1M$. Следовательно, треугольник $A_1MB$ — прямоугольный с прямым углом $M$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle BA_1M) = \frac{BM}{A_1B}$
$\sin \phi = \frac{BM}{d}$
Отсюда находим длину высоты основания $BM$:
$BM = d \sin \phi$

С другой стороны, $BM$ — это высота в правильном треугольнике $ABC$ со стороной $a$. Её длина вычисляется по формуле:
$BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Приравнивая два полученных выражения для $BM$, получаем:
$\frac{a\sqrt{3}}{2} = d \sin \phi$
Выразим отсюда сторону основания $a$:
$a = \frac{2d \sin \phi}{\sqrt{3}}$

Теперь найдём высоту призмы $h$ из соотношения (1):
$h^2 = d^2 - a^2 = d^2 - \left(\frac{2d \sin \phi}{\sqrt{3}}\right)^2 = d^2 - \frac{4d^2 \sin^2{\phi}}{3}$
$h^2 = d^2 \left(1 - \frac{4 \sin^2{\phi}}{3}\right) = d^2 \frac{3 - 4 \sin^2{\phi}}{3}$
$h = \sqrt{d^2 \frac{3 - 4 \sin^2{\phi}}{3}} = \frac{d\sqrt{3 - 4 \sin^2{\phi}}}{\sqrt{3}}$

Объём призмы $V$ равен произведению площади её основания $S_{осн}$ на высоту $h$:
$V = S_{осн} \cdot h$
Площадь основания (правильного треугольника со стороной $a$):
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим найденное выражение для $a^2 = \frac{4d^2 \sin^2{\phi}}{3}$:
$S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4d^2 \sin^2{\phi}}{3} = \frac{d^2 \sqrt{3} \sin^2{\phi}}{3}$

Наконец, вычислим объём:
$V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{d^2 \sqrt{3} \sin^2{\phi}}{3}\right) \cdot \left(\frac{d\sqrt{3 - 4 \sin^2{\phi}}}{\sqrt{3}}\right)$
Сократив $\sqrt{3}$, получаем:
$V = \frac{d^3 \sin^2{\phi} \sqrt{3 - 4 \sin^2{\phi}}}{3}$

Ответ: $V = \frac{d^3 \sin^2{\phi} \sqrt{3 - 4 \sin^2{\phi}}}{3}$.