Номер 13, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 5. Глава 5. Объёмы тел - номер 13, страница 138.

Условие.

13. Отношение объёмов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?

Решение 2.

Решение 6.

Пусть радиусы двух шаров равны $R_1$ и $R_2$, их объемы — $V_1$ и $V_2$, а площади поверхностей — $S_1$ и $S_2$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

Согласно условию, отношение объемов шаров равно 8: $$ \frac{V_1}{V_2} = 8 $$

Запишем это отношение, используя формулу для объема: $$ \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = 8 $$

Сократив общие множители $\frac{4}{3}\pi$, получим отношение кубов радиусов: $$ \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = 8 $$

Чтобы найти отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2}$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: $$ \frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{8} = 2 $$ Это означает, что радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго.

Теперь найдем отношение площадей поверхностей этих шаров: $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} $$

Сократив общие множители $4\pi$, получим отношение квадратов радиусов: $$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 $$

Мы уже выяснили, что $\frac{R_1}{R_2} = 2$. Подставим это значение в выражение для отношения площадей: $$ \frac{S_1}{S_2} = 2^2 = 4 $$

Ответ: 4