Номер 8, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

8. Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объёмы этих конусов?

Пусть дан неравнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Согласно условию, треугольник является неравнобедренным, что означает, что длины его катетов не равны: $a \neq b$.

Рассмотрим первый конус, который образуется при вращении этого треугольника вокруг одного из катетов, например, катета $a$. В этом случае высота конуса $H_1$ будет равна $a$, а радиус его основания $R_1$ будет равен другому катету, $b$. Объем этого конуса, обозначим его $V_1$, вычисляется по стандартной формуле объема конуса $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$: $V_1 = \frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1 = \frac{1}{3}\pi b^2 a$.

Теперь рассмотрим второй конус, который образуется при вращении того же треугольника вокруг другого катета, $b$. В этом случае высота конуса $H_2$ будет равна $b$, а радиус основания $R_2$ будет равен катету $a$. Объем второго конуса, $V_2$, будет равен: $V_2 = \frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi a^2 b$.

Чтобы ответить на вопрос, равны ли объемы этих конусов, необходимо сравнить полученные выражения для $V_1$ и $V_2$. Объемы будут равны, если выполняется условие $V_1 = V_2$: $\frac{1}{3}\pi b^2 a = \frac{1}{3}\pi a^2 b$.

Поскольку $a$ и $b$ — это длины катетов, они являются положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на общий множитель $\frac{1}{3}\pi ab$, не равный нулю: $\frac{\frac{1}{3}\pi b^2 a}{\frac{1}{3}\pi ab} = \frac{\frac{1}{3}\pi a^2 b}{\frac{1}{3}\pi ab}$ $b = a$.

Таким образом, объемы двух конусов равны только в том случае, если катеты прямоугольного треугольника равны, то есть если треугольник является равнобедренным. Однако, по условию задачи, нам дан неравнобедренный прямоугольный треугольник, для которого $a \neq b$. Из этого следует, что $V_1 \neq V_2$.

Ответ: Нет, объёмы этих конусов не равны.