Номер 2, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 5. Глава 5. Объёмы тел - номер 2, страница 138.

2. Какую часть объёма данной прямой треугольной призмы составляет объём треугольной призмы, отсечённой от данной плоскостью, проходящей через средние линии оснований?

Пусть дана прямая треугольная призма. Обозначим её объём как $V$, площадь основания как $S_{осн}$ и высоту как $h$. Объём призмы вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot h$

Плоскость, проходящая через средние линии оснований, отсекает от данной призмы другую, меньшую прямую треугольную призму. Высота отсечённой призмы $h_{отсеч}$ равна высоте исходной призмы $h$, так как плоскости оснований параллельны, а секущая плоскость проходит через соответственные средние линии.

Основанием отсечённой призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника-основания исходной призмы.Рассмотрим, как соотносятся площади этих треугольников.Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный исходному. Коэффициент подобия $k$ равен $1/2$, так как стороны малого треугольника в два раза меньше соответствующих сторон большого треугольника.Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь основания отсечённой призмы $S_{отсеч}$ относится к площади основания исходной призмы $S_{осн}$ как $k^2$:$S_{отсеч} = k^2 \cdot S_{осн} = (\frac{1}{2})^2 \cdot S_{осн} = \frac{1}{4} S_{осн}$

Теперь найдём объём отсечённой призмы $V_{отсеч}$:$V_{отсеч} = S_{отсеч} \cdot h_{отсеч} = (\frac{1}{4} S_{осн}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{осн} \cdot h)$

Поскольку $V = S_{осн} \cdot h$, то $V_{отсеч} = \frac{1}{4} V$.Чтобы найти, какую часть объёма составляет отсечённая призма от данной, нужно найти отношение их объёмов:$\frac{V_{отсеч}}{V} = \frac{\frac{1}{4} V}{V} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.