Номер 9, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 5. Глава 5. Объёмы тел - номер 9, страница 138.

9. Диаметр одного шара равен радиусу другого. Чему равно отношение : а) радиусов этих шаров; б) объёмов шаров?

Пусть радиус первого шара равен $r_1$, а его диаметр $d_1$. Радиус второго шара равен $r_2$, а его диаметр $d_2$.

Мы знаем, что диаметр шара в два раза больше его радиуса: $d_1 = 2r_1$.

Согласно условию задачи, диаметр одного шара равен радиусу другого. Допустим, что диаметр первого шара равен радиусу второго: $d_1 = r_2$.

Теперь мы можем связать радиусы двух шаров. Подставим выражение для $d_1$ в наше допущение:

$2r_1 = r_2$

Это означает, что радиус второго шара в два раза больше радиуса первого шара.

а) радиусов этих шаров

Требуется найти отношение радиусов. Найдем отношение радиуса первого шара к радиусу второго шара, то есть $\frac{r_1}{r_2}$.

Исходя из полученного равенства $2r_1 = r_2$, разделим обе части на $r_2$ (так как радиус не может быть равен нулю) и на 2:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, отношение радиусов равно 1 к 2. Если бы мы искали обратное отношение, $\frac{r_2}{r_1}$, оно было бы равно 2. Обычно под отношением понимают отношение меньшей величины к большей.

Ответ: 1:2.

б) объёмов шаров

Формула объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Объём первого шара: $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$.

Объём второго шара: $V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3$.

Чтобы найти отношение объёмов, разделим объём первого шара на объём второго:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3}$

Общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ сокращается, и мы получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$

Из пункта а) мы знаем, что отношение радиусов $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Следовательно, отношение объёмов шаров равно 1 к 8.

Ответ: 1:8.