Номер 3, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Объёмы тел. Вопросы к главе 5 - номер 3, страница 138.

Условие.

3. Изменится ли объём цилиндра, если диаметр его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?

Решение 2.

Решение 6.

Для того чтобы определить, изменится ли объём цилиндра, запишем формулу для его вычисления и проанализируем, как на неё повлияют указанные изменения параметров.

Объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота цилиндра.

Основанием цилиндра является круг, площадь которого вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ – это радиус основания.

Таким образом, формула объёма цилиндра через радиус и высоту выглядит так:

$V = \pi r^2 h$

В задаче указан диаметр основания $d$. Радиус связан с диаметром соотношением $r = \frac{d}{2}$. Подставим это выражение в формулу объёма, чтобы выразить его через диаметр:

$V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h = \pi \frac{d^2}{4} h = \frac{\pi d^2 h}{4}$

Обозначим начальные параметры цилиндра как $d_1$ и $h_1$. Его объём $V_1$ будет равен:

$V_1 = \frac{\pi d_1^2 h_1}{4}$

Теперь рассмотрим, как изменятся параметры согласно условию задачи:

• Диаметр основания увеличивается в 2 раза. Новый диаметр $d_2 = 2 d_1$.
• Высота уменьшается в 4 раза. Новая высота $h_2 = \frac{h_1}{4}$.

Подставим новые значения $d_2$ и $h_2$ в формулу объёма, чтобы найти новый объём $V_2$:

$V_2 = \frac{\pi d_2^2 h_2}{4} = \frac{\pi (2 d_1)^2 \left(\frac{h_1}{4}\right)}{4}$

Теперь упростим это выражение:

$V_2 = \frac{\pi (4 d_1^2) h_1}{4 \cdot 4} = \frac{4 \pi d_1^2 h_1}{16} = \frac{\pi d_1^2 h_1}{4}$

Сравним полученный новый объём $V_2$ с начальным объёмом $V_1$:

$V_1 = \frac{\pi d_1^2 h_1}{4}$

$V_2 = \frac{\pi d_1^2 h_1}{4}$

Как мы видим, $V_1 = V_2$. Это означает, что объём цилиндра не изменился.

Ответ: объём цилиндра не изменится.