Номер 1, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

1. Каким соотношением связаны объёмы V₁ и V₂ тел Р₁ и Р₂, если:

а) тело P₁ содержится в теле Р₂;

б) каждое из тел Р₁ и Р₂ составлено из n кубов с ребром 1 см?

а) Пусть $V_1$ — это объём тела $P_1$, а $V_2$ — это объём тела $P_2$. По условию задачи, тело $P_1$ содержится в теле $P_2$. Это означает, что любая точка, принадлежащая телу $P_1$, также принадлежит и телу $P_2$. С точки зрения геометрии, пространство, занимаемое телом $P_1$, является подмножеством пространства, занимаемого телом $P_2$.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом. Если одно тело полностью содержится в другом, его объём не может быть больше объёма второго тела. Возможны два случая:
1. Тело $P_1$ является частью тела $P_2$, но не совпадает с ним. В этом случае в теле $P_2$ существуют точки, которые не принадлежат $P_1$, и объём $V_1$ будет строго меньше объёма $V_2$, то есть $V_1 < V_2$.
2. Тело $P_1$ полностью совпадает с телом $P_2$. В этом случае их объёмы равны: $V_1 = V_2$.
Объединяя оба этих случая, мы получаем, что объём $V_1$ должен быть меньше или равен объёму $V_2$. Математически это соотношение записывается в виде неравенства.
Ответ: $V_1 \le V_2$.

б) По условию, каждое из тел $P_1$ и $P_2$ составлено из $n$ кубов, причём ребро каждого куба равно 1 см. Такие тела, состоящие из одинаковых кубиков, называют равносоставленными. Хотя форма тел $P_1$ и $P_2$ может быть разной, их объёмы будут одинаковы, так как они состоят из одинакового числа одинаковых элементов.
Рассчитаем объём одного такого куба. Объём куба с длиной ребра $a$ вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$.
Для нашего случая $a = 1 \text{ см}$, следовательно, объём одного куба равен $V_{куба} = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$.
Объём тела $P_1$ ($V_1$) равен сумме объёмов $n$ составляющих его кубов:
$V_1 = n \cdot V_{куба} = n \cdot 1 \text{ см}^3 = n \text{ см}^3$.
Аналогично, объём тела $P_2$ ($V_2$) также равен сумме объёмов $n$ составляющих его кубов:
$V_2 = n \cdot V_{куба} = n \cdot 1 \text{ см}^3 = n \text{ см}^3$.
Сравнивая выражения для $V_1$ и $V_2$, мы видим, что они равны.
Ответ: $V_1 = V_2$.