Номер 520, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

520. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно а. Сечение, проведённое через две стороны разных оснований, является квадратом с площадью Q. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, у которого боковое ребро (высота) равно $a$. Обозначим стороны его прямоугольного основания как $b$ и $c$. Объём такого параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

В условии сказано, что сечение проведено через две стороны разных оснований. Рассмотрим сечение, проходящее через сторону нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, которые не лежат в одной боковой грани. Например, пусть стороны основания $ABCD$ это $AB=CD=b$ и $AD=BC=c$. Тогда сечение можно провести через сторону $CD$ нижнего основания и сторону $A_1B_1$ верхнего основания. Получим сечение $A_1B_1CD$.

Данное сечение $A_1B_1CD$ является параллелограммом, так как стороны $A_1B_1$ и $CD$ параллельны и равны. Докажем, что это прямоугольник. Поскольку параллелепипед прямоугольный, его боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, ребро $AA_1 \perp AD$. Также, в основании лежит прямоугольник, поэтому $AB \perp AD$. Отсюда следует, что ребро $AD$ перпендикулярно плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Аналогично, ребро $CD$ перпендикулярно плоскости боковой грани $ADD_1A_1$.

Так как прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ADD_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $A_1D$. Следовательно, угол $\angle A_1DC = 90^\circ$. Это означает, что параллелограмм $A_1B_1CD$ является прямоугольником.

Стороны этого прямоугольника — это $CD$ и $A_1D$. Длина стороны $CD$ равна $b$. Длину стороны $A_1D$ найдём из прямоугольного треугольника $AA_1D$ (угол $\angle A_1AD = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2 = a^2 + c^2$. Таким образом, $A_1D = \sqrt{a^2 + c^2}$.

По условию задачи, сечение $A_1B_1CD$ является квадратом с площадью $Q$. Это означает, что, во-первых, его стороны равны, и, во-вторых, его площадь равна $Q$.

Из равенства сторон квадрата следует: $CD = A_1D \implies b = \sqrt{a^2 + c^2}$.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $Q = CD^2 \implies Q = b^2$.

Из второго уравнения находим $b$: $b = \sqrt{Q}$.

Теперь подставим найденное значение $b$ в первое уравнение: $\sqrt{Q} = \sqrt{a^2 + c^2}$.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат: $Q = a^2 + c^2$.

Отсюда выразим вторую сторону основания $c$: $c^2 = Q - a^2 \implies c = \sqrt{Q - a^2}$. (Для существования такого параллелепипеда необходимо, чтобы $Q > a^2$).

Теперь мы можем найти объём параллелепипеда, зная все три его измерения: высоту $a$, и стороны основания $b = \sqrt{Q}$ и $c = \sqrt{Q - a^2}$. $V = a \cdot b \cdot c = a \cdot \sqrt{Q} \cdot \sqrt{Q - a^2}$.

Объединив выражения под корнем, получаем окончательный ответ: $V = a\sqrt{Q(Q - a^2)}$.

Ответ: $a\sqrt{Q(Q - a^2)}$.