Номер 513, страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

513. Найдите объём шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $R$ — радиус шара, $r$ — радиус окружности основания шарового сегмента, $h$ — высота соответствующего шарового сегмента. Объем шарового сектора $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$

По условию задачи даны: $R = 75$ см, $r = 60$ см. Для нахождения объема шарового сектора необходимо сначала определить высоту шарового сегмента $h$.

Высота сегмента $h$ связана с расстоянием $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние $d$ и радиус основания сегмента $r$, а гипотенузой — радиус шара $R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

Найдем расстояние $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{75^2 - 60^2}$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$d = \sqrt{(75 - 60)(75 + 60)} = \sqrt{15 \cdot 135} = \sqrt{15 \cdot (15 \cdot 9)} = \sqrt{15^2 \cdot 3^2} = 15 \cdot 3 = 45$ см.

Плоскость, пересекающая шар, делит его на два шаровых сегмента: меньший и больший. Оба этих сегмента имеют одинаковый радиус основания $r = 60$ см. Следовательно, задача имеет два возможных решения, в зависимости от того, какой из двух сегментов рассматривается.

Случай 1: Рассматривается меньший шаровой сегмент

Высота меньшего шарового сегмента $h_1$ вычисляется как разность между радиусом шара и расстоянием $d$:

$h_1 = R - d = 75 - 45 = 30$ см.

Теперь можем найти объем соответствующего шарового сектора:

$V_1 = \frac{2}{3}\pi R^2 h_1 = \frac{2}{3}\pi \cdot 75^2 \cdot 30 = 2 \pi \cdot 5625 \cdot 10 = 112500\pi$ см?.

Ответ: $112500\pi$ см?.

Случай 2: Рассматривается больший шаровой сегмент

Высота большего шарового сегмента $h_2$ вычисляется как сумма радиуса шара и расстояния $d$:

$h_2 = R + d = 75 + 45 = 120$ см.

Найдем объем соответствующего шарового сектора:

$V_2 = \frac{2}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{2}{3}\pi \cdot 75^2 \cdot 120 = 2 \pi \cdot 5625 \cdot 40 = 450000\pi$ см?.

Ответ: $450000\pi$ см?.