Номер 507, страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

507. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?

Когда в мензурку с водой опускают шарики, уровень воды поднимается. Объем вытесненной воды равен общему объему четырех шариков. Этот объем вытесненной воды представляет собой цилиндр, основание которого совпадает с основанием мензурки, а высота равна изменению уровня воды. Обозначим это изменение как $\Delta h$.

Сначала найдем общий объем четырех шариков ($V_{общий}$).

Объем одного шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ - его радиус.

Диаметр шарика $d_{шара} = 1$ см, значит, его радиус $r_{шара} = \frac{d_{шара}}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Тогда объем одного шарика равен:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (0,5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 0,125 = \frac{0,5\pi}{3}$ см$^3$.

Общий объем четырех шариков:

$V_{общий} = 4 \cdot V_{шара} = 4 \cdot \frac{0,5\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ см$^3$.

Теперь найдем объем вытесненной воды ($V_{воды}$) через параметры мензурки.

Объем вытесненной воды, имеющий форму цилиндра, равен $V_{воды} = S_{основания} \cdot \Delta h = \pi R^2 \Delta h$, где $R$ - радиус основания мензурки, а $\Delta h$ - искомое изменение уровня воды.

Диаметр мензурки $D_{мензурки} = 2,5$ см, значит, ее радиус $R = \frac{D_{мензурки}}{2} = \frac{2,5}{2} = 1,25$ см.

Приравняем объем шариков к объему вытесненной воды:

$V_{общий} = V_{воды}$

$\frac{2\pi}{3} = \pi R^2 \Delta h$

$\frac{2\pi}{3} = \pi (1,25)^2 \Delta h$

Сократим $\pi$ и выразим $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{2/3}{(1,25)^2} = \frac{2/3}{1,5625}$

Для точного расчета представим десятичную дробь $1,25$ в виде обыкновенной: $1,25 = \frac{5}{4}$.

$\Delta h = \frac{2/3}{(5/4)^2} = \frac{2/3}{25/16} = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{25} = \frac{32}{75}$ см.

Ответ: уровень воды в мензурке изменится на $\frac{32}{75}$ см.