Номер 503, страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 4. Объём шара и площадь сферы. Глава 5. Объёмы тел - номер 503, страница 137.

Условие.

503. Пусть V — объём шара радиуса R, а S — площадь его поверхности.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения задачи используются следующие формулы:
Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$
Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$
где $R$ — радиус шара, $V$ — объем, $S$ — площадь поверхности.

а) Найдите S и V, если R=4 см.

Дано, что радиус шара $R = 4$ см.
Найдем площадь поверхности $S$ по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставим значение радиуса:
$S = 4\pi (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi \text{ см}^2$.

Теперь найдем объем шара $V$ по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим значение радиуса:
$V = \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $S = 64\pi \text{ см}^2$, $V = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

б) Найдите R и S, если V=113,04 см?.

Дано, что объем шара $V = 113,04 \text{ см}^3$. В расчетах примем значение $\pi \approx 3,14$, так как объем дан в виде десятичной дроби.
Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся формулой объема $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
$113,04 = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot R^3$.
Выразим из формулы $R^3$:
$R^3 = \frac{3V}{4\pi} = \frac{3 \cdot 113,04}{4 \cdot 3,14} = \frac{339,12}{12,56} = 27$.
Отсюда находим радиус:
$R = \sqrt[3]{27} = 3$ см.

Теперь, зная радиус, найдем площадь поверхности $S$ по формуле $S = 4\pi R^2$.
$S = 4\pi (3)^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \text{ см}^2$.
Для получения численного значения подставим $\pi \approx 3,14$:
$S = 36 \cdot 3,14 = 113,04 \text{ см}^2$.

Ответ: $R = 3 \text{ см}$, $S = 36\pi \text{ см}^2 \approx 113,04 \text{ см}^2$.

в) Найдите R и V, если S=64? см?.

Дано, что площадь поверхности шара $S = 64\pi \text{ см}^2$.
Найдем радиус $R$ из формулы площади поверхности $S = 4\pi R^2$.
$64\pi = 4\pi R^2$.
Разделим обе части уравнения на $4\pi$:
$R^2 = \frac{64\pi}{4\pi} = 16$.
Поскольку радиус является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:
$R = \sqrt{16} = 4$ см.

Зная радиус, найдем объем $V$ по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
$V = \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $R = 4 \text{ см}$, $V = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.