Номер 498, страница 133 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

498. Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Для нахождения объёма конуса воспользуемся формулой: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

По условию задачи нам даны образующая конуса $L = 13$ см и площадь осевого сечения $S_{сеч} = 60$ см?.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $L$, основание равно диаметру основания конуса $2R$, а высота этого треугольника равна высоте конуса $H$.

Площадь этого треугольника (осевого сечения) вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$

Используя данные из условия, мы получаем первое уравнение: $R \cdot H = 60$

Радиус $R$, высота $H$ и образующая $L$ конуса связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой: $R^2 + H^2 = L^2$

Подставив значение $L$, получаем второе уравнение: $R^2 + H^2 = 13^2 = 169$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} R \cdot H = 60 \\ R^2 + H^2 = 169 \end{cases}$

Выразим $H$ из первого уравнения: $H = \frac{60}{R}$. Подставим это выражение во второе уравнение: $R^2 + (\frac{60}{R})^2 = 169$ $R^2 + \frac{3600}{R^2} = 169$

Домножим обе части уравнения на $R^2$ (так как $R \ne 0$), чтобы избавиться от знаменателя: $R^4 + 3600 = 169R^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение: $R^4 - 169R^2 + 3600 = 0$

Сделаем замену переменной, пусть $x = R^2$ (где $x > 0$): $x^2 - 169x + 3600 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-169)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161$ $\sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Так как $x = R^2$, мы получили два возможных значения для квадрата радиуса. Это означает, что существуют два конуса, удовлетворяющих условиям задачи.

Случай 1: $R^2 = 25 \implies R = 5$ см. Тогда высота $H = \frac{60}{R} = \frac{60}{5} = 12$ см. Найдем объём конуса для этого случая: $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ см?.

Случай 2: $R^2 = 144 \implies R = 12$ см. Тогда высота $H = \frac{60}{R} = \frac{60}{12} = 5$ см. Найдем объём конуса для этого случая: $V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5 = 48 \cdot 5 \pi = 240\pi$ см?.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: $100\pi$ см? или $240\pi$ см?.