Номер 500, страница 133 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

500. Площадь полной поверхности конуса равна 45π дм². Развёрнутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объём конуса.

Пусть $r$ — радиус основания конуса, $l$ — его образующая, а $h$ — высота.

Площадь полной поверхности конуса, $S_{полн}$, складывается из площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi r l$). $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$. По условию задачи, $S_{полн} = 45\pi$ дм?, значит: $\pi r^2 + \pi r l = 45\pi$. Разделив обе части на $\pi$, получим первое уравнение: $r^2 + r l = 45$.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а центральный угол сектора равен $\alpha = 60°$. Длина дуги этого сектора в точности равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Длину дуги сектора можно найти по формуле $L_{дуги} = \frac{2\pi l \alpha}{360°}$. Приравняем длину дуги и длину окружности основания: $2\pi r = \frac{2\pi l \cdot 60°}{360°}$ $2\pi r = \frac{2\pi l}{6}$ Сократив $2\pi$ в обеих частях, находим соотношение между радиусом и образующей: $r = \frac{l}{6}$, или $l = 6r$.

Теперь подставим выражение $l = 6r$ в первое уравнение, полученное из площади полной поверхности: $r^2 + r(6r) = 45$ $r^2 + 6r^2 = 45$ $7r^2 = 45$ $r^2 = \frac{45}{7}$ дм?.

Для вычисления объёма конуса необходима его высота $h$. Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + h^2$. Выразим высоту: $h^2 = l^2 - r^2$. Используя соотношение $l = 6r$, получаем: $h^2 = (6r)^2 - r^2 = 36r^2 - r^2 = 35r^2$. Теперь подставим найденное значение для $r^2$: $h^2 = 35 \cdot \frac{45}{7} = 5 \cdot 45 = 225$. Следовательно, высота конуса $h = \sqrt{225} = 15$ дм.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставим значения $r^2 = \frac{45}{7}$ и $h = 15$: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{45}{7}\right) \cdot 15$ $V = \pi \cdot \frac{45}{3 \cdot 7} \cdot 15$ $V = \pi \cdot \frac{15}{7} \cdot 15$ $V = \frac{225\pi}{7}$ дм?.

Ответ: $\frac{225\pi}{7}$ дм?.