Номер 502, страница 133 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Объёмы наклонной призмы, пирамиды и конуса. Глава 5. Объёмы тел - номер 502, страница 133.

Условие.

502. В усечённом конусе известны высота h, образующая l и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объём усечённого конуса.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения задачи введем обозначения: пусть $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно. По условию задачи нам известны высота $h$, образующая $l$ и площадь боковой поверхности $S$.

Площадь осевого сечения

Осевое сечение усечённого конуса является равнобокой трапецией, основаниями которой служат диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а высотой — высота конуса $h$. Площадь этой трапеции, $S_{ос}$, вычисляется по формуле средней линии, умноженной на высоту:

$S_{ос} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r)h$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса $S$ определяется формулой:

$S = \pi l (R+r)$

Из этой формулы мы можем выразить сумму радиусов оснований $(R+r)$:

$R+r = \frac{S}{\pi l}$

Теперь подставим полученное выражение для $(R+r)$ в формулу площади осевого сечения:

$S_{ос} = \left(\frac{S}{\pi l}\right) \cdot h = \frac{Sh}{\pi l}$

Ответ: Площадь осевого сечения равна $\frac{Sh}{\pi l}$.

Объём усечённого конуса

Объём усечённого конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Чтобы найти объём, нам необходимо выразить $R^2 + Rr + r^2$ через известные величины $S, h, l$. Для этого воспользуемся двумя соотношениями. Первое мы уже использовали:

$R+r = \frac{S}{\pi l}$

Второе соотношение связывает высоту $h$, образующую $l$ и радиусы $R$ и $r$ через прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, образующей и разностью радиусов оснований. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Отсюда находим разность радиусов (учитывая, что $l > h$):

$R-r = \sqrt{l^2 - h^2}$

Теперь у нас есть выражения для $R+r$ и $R-r$. Выразим $R^2 + Rr + r^2$ через них. Воспользуемся следующим алгебраическим тождеством:

$R^2 + Rr + r^2 = \frac{1}{4} \left( 3(R+r)^2 + (R-r)^2 \right)$

Подставим в это тождество наши выражения для суммы и разности радиусов:

$R^2 + Rr + r^2 = \frac{1}{4} \left( 3\left(\frac{S}{\pi l}\right)^2 + \left(\sqrt{l^2 - h^2}\right)^2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2 \right)$

Наконец, подставим это выражение в формулу для объёма усечённого конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h \left[ \frac{1}{4} \left( \frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2 \right) \right]$

Упрощая, получаем окончательную формулу для объёма:

$V = \frac{\pi h}{12} \left( \frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2 \right)$

Это выражение можно также записать в виде суммы двух слагаемых:

$V = \frac{hS^2}{4\pi l^2} + \frac{\pi h(l^2 - h^2)}{12}$

Ответ: Объём усечённого конуса равен $\frac{\pi h}{12} \left( \frac{3S^2}{\pi^2 l^2} + l^2 - h^2 \right)$.