Номер 509, страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

509. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объём общей части шаров к объёму одного шара?

Пусть радиус каждого из двух шаров равен $R$. Согласно условию задачи, центр одного шара лежит на поверхности другого. Это означает, что расстояние между центрами шаров равно их радиусу $R$.

Общая часть двух пересекающихся шаров представляет собой тело, состоящее из двух одинаковых шаровых сегментов, приложенных друг к другу основаниями. Объем этого тела $V_{общ}$ равен удвоенному объему одного шарового сегмента $V_{сег}$.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Найдем высоту $h$ нашего шарового сегмента. Рассмотрим осевое сечение шаров, проходящее через их центры. В сечении мы увидим два пересекающихся круга радиуса $R$ с расстоянием между центрами, равным $R$. Плоскость, в которой лежит общее основание двух шаровых сегментов, перпендикулярна линии, соединяющей центры шаров, и проходит через ее середину. Таким образом, расстояние от центра любого из шаров до этой плоскости равно $R/2$.

Высота шарового сегмента $h$ — это расстояние от его вершины до основания. Она равна разности между радиусом шара $R$ и расстоянием от центра шара до плоскости основания сегмента. Следовательно, $h = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

Теперь можем вычислить объем одного шарового сегмента: $V_{сег} = \pi (\frac{R}{2})^2 (R - \frac{1}{3} \cdot \frac{R}{2}) = \pi \frac{R^2}{4} (R - \frac{R}{6}) = \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{5R}{6} = \frac{5\pi R^3}{24}$.

Объем общей части шаров равен удвоенному объему сегмента: $V_{общ} = 2 \cdot V_{сег} = 2 \cdot \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{10\pi R^3}{24} = \frac{5\pi R^3}{12}$.

Объем одного шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Найдем искомое отношение объема общей части шаров к объему одного шара: $\frac{V_{общ}}{V_{шара}} = \frac{\frac{5\pi R^3}{12}}{\frac{4\pi R^3}{3}} = \frac{5\pi R^3}{12} \cdot \frac{3}{4\pi R^3} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 4} = \frac{15}{48}$.

Сократив дробь на 3, получаем: $\frac{15}{48} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.