Номер 510, страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

510. Найдите объём шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Для нахождения объёма шарового сегмента используется формула $V = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h)$, где $R$ — это радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Из условия задачи нам известны радиус шара $R = 75$ см и радиус окружности основания сегмента $r = 60$ см.

Для вычисления объёма необходимо сначала найти высоту сегмента $h$. Для этого рассмотрим осевое сечение шара, перпендикулярное основанию сегмента. В сечении образуется прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания сегмента $r$ и расстояние от центра шара до основания сегмента $d$, а гипотенузой — радиус шара $R$.

По теореме Пифагора имеем: $R^2 = r^2 + d^2$.
Найдём расстояние $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента:
$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{75^2 - 60^2} = \sqrt{(75 - 60)(75 + 60)} = \sqrt{15 \cdot 135} = \sqrt{15 \cdot (9 \cdot 15)} = \sqrt{15^2 \cdot 3^2} = 15 \cdot 3 = 45$ см.

Секущая плоскость делит шар на два сегмента: меньший и больший. В зависимости от того, какой сегмент рассматривается, его высота будет разной. Так как в условии не уточнено, какой из двух сегментов имеется в виду, задача имеет два решения.

1. Решение для меньшего сегмента.
Высота меньшего сегмента вычисляется как $h_1 = R - d = 75 - 45 = 30$ см.
Объём меньшего сегмента равен:
$V_1 = \frac{1}{3}\pi h_1^2(3R - h_1) = \frac{1}{3}\pi \cdot 30^2 \cdot (3 \cdot 75 - 30) = \frac{1}{3}\pi \cdot 900 \cdot (225 - 30) = 300\pi \cdot 195 = 58500\pi$ см$^3$.

2. Решение для большего сегмента.
Высота большего сегмента вычисляется как $h_2 = R + d = 75 + 45 = 120$ см.
Объём большего сегмента равен:
$V_2 = \frac{1}{3}\pi h_2^2(3R - h_2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 120^2 \cdot (3 \cdot 75 - 120) = \frac{1}{3}\pi \cdot 14400 \cdot (225 - 120) = 4800\pi \cdot 105 = 504000\pi$ см$^3$.

Ответ: $58500\pi$ см$^3$ или $504000\pi$ см$^3$.