Номер 511, страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

511. Диаметр шара разделён на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объём получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

По условию задачи, диаметр шара, равный $2R$, разделен на три равные части. Длина каждой части составляет $\frac{2R}{3}$. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Эти плоскости отсекают от шара два одинаковых шаровых сегмента (по краям) и образуют один шаровой слой (в центре). Высота этого шарового слоя равна длине средней части диаметра, то есть $h = \frac{2R}{3}$.

Объём шарового слоя можно найти, вычев из общего объёма шара объёмы двух шаровых сегментов, которые отсекаются плоскостями.

1. Найдём объём всего шара. Формула объёма шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

2. Найдём объём одного из отсечённых шаровых сегментов. Высота каждого шарового сегмента также равна $\frac{2R}{3}$. Пусть $h_{сегмента} = \frac{2R}{3}$.

Формула для объёма шарового сегмента:

$V_{сегмента} = \pi h_{сегмента}^2 (R - \frac{h_{сегмента}}{3})$

Подставим значение высоты $h_{сегмента}$:

$V_{сегмента} = \pi (\frac{2R}{3})^2 (R - \frac{1}{3} \cdot \frac{2R}{3})$

$V_{сегмента} = \pi \frac{4R^2}{9} (R - \frac{2R}{9})$

$V_{сегмента} = \pi \frac{4R^2}{9} (\frac{9R - 2R}{9})$

$V_{сегмента} = \pi \frac{4R^2}{9} \cdot \frac{7R}{9} = \frac{28\pi R^3}{81}$

3. Так как у нас два одинаковых шаровых сегмента, их суммарный объём равен:

$2 \cdot V_{сегмента} = 2 \cdot \frac{28\pi R^3}{81} = \frac{56\pi R^3}{81}$

4. Теперь найдём объём шарового слоя, вычтя из объёма шара объём двух сегментов:

$V_{слоя} = V_{шара} - 2 \cdot V_{сегмента}$

$V_{слоя} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{56\pi R^3}{81}$

Приведём первое слагаемое к общему знаменателю 81:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 27}\pi R^3 = \frac{108\pi R^3}{81}$

Выполним вычитание:

$V_{слоя} = \frac{108\pi R^3}{81} - \frac{56\pi R^3}{81} = \frac{(108 - 56)\pi R^3}{81} = \frac{52\pi R^3}{81}$

Ответ: $\frac{52\pi R^3}{81}$