Номер 518, страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

518. Площади трёх попарно смежных граней прямоугольного параллелепипеда равны S₁, S₂, S₃. Выразите объём этого параллелепипеда через S₁, S₂, S₃ и вычислите его при S₁ = 6 дм², S₂ = 12 дм², S₃ = 18 дм².

Выражение объёма параллелепипеда через S?, S?, S?

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$.

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$V = a \cdot b \cdot c$

Площади трёх попарно смежных граней, которые имеют общую вершину, выражаются через его измерения следующим образом:
$S_1 = a \cdot b$
$S_2 = a \cdot c$
$S_3 = b \cdot c$

Чтобы связать эти площади с объёмом, перемножим их между собой:
$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b) \cdot (a \cdot c) \cdot (b \cdot c)$

Сгруппируем одинаковые множители в правой части уравнения:
$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot c \cdot c = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = (a \cdot b \cdot c)^2$

Поскольку объём $V = a \cdot b \cdot c$, мы можем заменить произведение в скобках на $V$:
$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = V^2$

Чтобы выразить объём $V$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как объём — величина положительная, мы берём только положительное значение корня.
$V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$

Ответ: $V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$.

Вычисление объёма при S? = 6 дм?, S? = 12 дм?, S? = 18 дм?

Теперь воспользуемся выведенной формулой для расчёта объёма с заданными значениями площадей.
Подставим значения $S_1 = 6$, $S_2 = 12$ и $S_3 = 18$ в формулу:
$V = \sqrt{6 \cdot 12 \cdot 18}$

Вычислим произведение под корнем:
$6 \cdot 12 \cdot 18 = 72 \cdot 18 = 1296$
Для удобства извлечения корня можно разложить числа на множители:
$6 \cdot 12 \cdot 18 = (6) \cdot (2 \cdot 6) \cdot (3 \cdot 6) = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^2 \cdot 6^2 = 36^2$

Найдём значение объёма:
$V = \sqrt{1296} = \sqrt{36^2} = 36$

Поскольку площади были даны в квадратных дециметрах (дм?), объём измеряется в кубических дециметрах (дм?).

Ответ: 36 дм?.