gdz.top
Номер 517, страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Объёмы тел. Параграф 4. Объём шара и площадь сферы - номер 517, страница 137.
№516
№517 (с. 137)
Условие. №517 (с. 137)
517. Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.
Решение 2. №517 (с. 137)
Решение 6. №517 (с. 137)
Для доказательства данного утверждения введем обозначения и запишем формулы для площадей поверхностей.
Пусть $R$ – радиус сферы. Тогда площадь ее поверхности вычисляется по формуле:
$S_{сферы} = 4\pi R^2$
Пусть $h$, $r$ и $l$ – соответственно высота, радиус основания и образующая конуса. Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его основания и боковой поверхности:
$S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
Теперь воспользуемся условиями задачи:
- Высота конуса равна диаметру сферы: $h = 2R$.
- Диаметр основания конуса равен образующей конуса: $2r = l$.
Высота, радиус основания и образующая конуса связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник:
$h^2 + r^2 = l^2$
Подставим в это соотношение выражения из условий задачи:
$(2R)^2 + r^2 = (2r)^2$
Раскроем скобки и упростим полученное уравнение, чтобы связать радиус сферы $R$ и радиус основания конуса $r$:
$4R^2 + r^2 = 4r^2$
$4R^2 = 4r^2 - r^2$
$4R^2 = 3r^2$
Теперь вернемся к формуле площади полной поверхности конуса и подставим в нее условие $l = 2r$:
$S_{конуса} = \pi r (r + l) = \pi r (r + 2r) = \pi r (3r) = 3\pi r^2$
Мы получили, что площадь полной поверхности конуса равна $3\pi r^2$. Из соотношения, полученного по теореме Пифагора, мы знаем, что $3r^2 = 4R^2$. Подставим это в выражение для площади конуса:
$S_{конуса} = \pi (3r^2) = \pi (4R^2) = 4\pi R^2$
Сравнивая полученный результат с формулой площади сферы, видим, что они равны:
$S_{сферы} = 4\pi R^2$
$S_{конуса} = 4\pi R^2$
Следовательно, $S_{сферы} = S_{конуса}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 517 расположенного на странице 137 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №517 (с. 137), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.