Страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

503. Пусть V — объём шара радиуса R, а S — площадь его поверхности.

Для решения задачи используются следующие формулы:
Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$
Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$
где $R$ — радиус шара, $V$ — объем, $S$ — площадь поверхности.

а) Найдите S и V, если R=4 см.

Дано, что радиус шара $R = 4$ см.
Найдем площадь поверхности $S$ по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставим значение радиуса:
$S = 4\pi (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi \text{ см}^2$.

Теперь найдем объем шара $V$ по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим значение радиуса:
$V = \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $S = 64\pi \text{ см}^2$, $V = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

б) Найдите R и S, если V=113,04 см?.

Дано, что объем шара $V = 113,04 \text{ см}^3$. В расчетах примем значение $\pi \approx 3,14$, так как объем дан в виде десятичной дроби.
Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся формулой объема $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
$113,04 = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot R^3$.
Выразим из формулы $R^3$:
$R^3 = \frac{3V}{4\pi} = \frac{3 \cdot 113,04}{4 \cdot 3,14} = \frac{339,12}{12,56} = 27$.
Отсюда находим радиус:
$R = \sqrt[3]{27} = 3$ см.

Теперь, зная радиус, найдем площадь поверхности $S$ по формуле $S = 4\pi R^2$.
$S = 4\pi (3)^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \text{ см}^2$.
Для получения численного значения подставим $\pi \approx 3,14$:
$S = 36 \cdot 3,14 = 113,04 \text{ см}^2$.

Ответ: $R = 3 \text{ см}$, $S = 36\pi \text{ см}^2 \approx 113,04 \text{ см}^2$.

в) Найдите R и V, если S=64? см?.

Дано, что площадь поверхности шара $S = 64\pi \text{ см}^2$.
Найдем радиус $R$ из формулы площади поверхности $S = 4\pi R^2$.
$64\pi = 4\pi R^2$.
Разделим обе части уравнения на $4\pi$:
$R^2 = \frac{64\pi}{4\pi} = 16$.
Поскольку радиус является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:
$R = \sqrt{16} = 4$ см.

Зная радиус, найдем объем $V$ по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
$V = \frac{4}{3}\pi (4)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $R = 4 \text{ см}$, $V = \frac{256}{3}\pi \text{ см}^3$.

504. Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луны и Земли, считая их шарами.

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма шара и данными из условия. Мы принимаем, что Луна и Земля имеют форму шара.

1. Обозначим диаметр Земли как $D_З$, а диаметр Луны как $D_Л$. Согласно условию, диаметр Луны составляет четверть диаметра Земли:

$D_Л = \frac{1}{4} D_З$

2. Радиус ($r$) любого шара связан с его диаметром ($D$) соотношением $r = \frac{D}{2}$. Используя это, найдём соотношение между радиусом Луны ($r_Л$) и радиусом Земли ($r_З$):

$r_Л = \frac{D_Л}{2} = \frac{\frac{1}{4} D_З}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{D_З}{2} = \frac{1}{4} r_З$

Таким образом, радиус Луны в 4 раза меньше радиуса Земли.

3. Формула объёма шара имеет вид:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

4. Найдём отношение объёма Земли ($V_З$) к объёму Луны ($V_Л$):

$\frac{V_З}{V_Л} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_З^3}{\frac{4}{3} \pi r_Л^3}$

Сократив общие множители $\frac{4}{3} \pi$, получим:

$\frac{V_З}{V_Л} = \frac{r_З^3}{r_Л^3} = (\frac{r_З}{r_Л})^3$

5. Мы уже установили, что $r_Л = \frac{1}{4} r_З$, откуда следует, что $\frac{r_З}{r_Л} = 4$. Подставим это значение в наше соотношение объёмов:

$\frac{V_З}{V_Л} = (4)^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Это означает, что объём Земли в 64 раза больше объёма Луны.

Ответ: Объём Луны в 64 раза меньше объёма Земли (или объём Луны составляет $\frac{1}{64}$ от объёма Земли).

505. Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.

Пусть $R$ — радиус шара, а $H$ и $r$ — высота и радиус основания цилиндра соответственно.

Объем шара вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V_{цилиндра} = \pi r^2 H$

По условию задачи, объемы шара и цилиндра равны: $V_{шара} = V_{цилиндра}$

Следовательно, мы можем приравнять формулы их объемов: $\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi r^2 H$

Также по условию, диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Диаметр — это два радиуса, поэтому: $D_{шара} = D_{цилиндра}$ $2R = 2r$ Отсюда следует, что радиус шара равен радиусу основания цилиндра: $R = r$

Теперь подставим $r = R$ в уравнение для объемов: $\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi R^2 H$

Чтобы выразить высоту цилиндра $H$ через радиус шара $R$, разделим обе части уравнения на $\pi R^2$ (это можно сделать, так как радиус $R$ не равен нулю): $H = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\pi R^2}$

Сократив $\pi$ и $R^2$, получаем: $H = \frac{4}{3}R$

Таким образом, высота цилиндра равна $\frac{4}{3}$ радиуса шара.

Ответ: Высота цилиндра равна $\frac{4}{3}$ радиуса шара, то есть $H = \frac{4}{3}R$.

506. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить объем конического стаканчика с общим объемом двух ложек мороженого. Если объем мороженого окажется больше объема стаканчика, то оно его переполнит, когда растает.

Сначала вычислим объем конического стаканчика. Формула для объема конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота конуса.

По условию, глубина (высота) стаканчика $h = 12$ см. Диаметр его верхней части составляет 5 см, следовательно, радиус основания $r = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2,5$ см.

Подставим известные значения в формулу объема конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot (2,5)^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 6,25 \cdot 12 = 4 \cdot 6,25 \pi = 25\pi$ см?.

Далее вычислим общий объем двух ложек мороженого. Каждая ложка имеет форму полушария с диаметром 5 см. Радиус каждого полушария, таким образом, также равен $r = 2,5$ см.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$. Объем одного полушария равен половине объема шара: $V_{полушария} = \frac{1}{2} \cdot V_{шара} = \frac{2}{3} \pi r^3$.

Поскольку у нас две ложки мороженого в виде полушарий, их суммарный объем равен объему целого шара с тем же радиусом:

$V_{мороженого} = 2 \cdot V_{полушария} = \frac{4}{3} \pi r^3$.

Подставим значение радиуса:

$V_{мороженого} = \frac{4}{3} \pi \cdot (2,5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 15,625 = \frac{62,5}{3}\pi = \frac{125}{6}\pi$ см?.

Теперь сравним объем стаканчика и объем мороженого:

$V_{конуса} = 25\pi$ см?

$V_{мороженого} = \frac{125}{6}\pi$ см?

Для удобства сравнения, представим $25\pi$ в виде дроби со знаменателем 6:

$25\pi = \frac{25 \cdot 6}{6}\pi = \frac{150}{6}\pi$ см?.

Сравнивая $\frac{150}{6}\pi$ и $\frac{125}{6}\pi$, мы видим, что $\frac{150}{6}\pi > \frac{125}{6}\pi$.

Следовательно, $V_{конуса} > V_{мороженого}$.

Объем стаканчика больше, чем объем растаявшего мороженого, а это значит, что мороженое не переполнит стаканчик.

Ответ: Нет, мороженое не переполнит стаканчик.

507. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?

Когда в мензурку с водой опускают шарики, уровень воды поднимается. Объем вытесненной воды равен общему объему четырех шариков. Этот объем вытесненной воды представляет собой цилиндр, основание которого совпадает с основанием мензурки, а высота равна изменению уровня воды. Обозначим это изменение как $\Delta h$.

Сначала найдем общий объем четырех шариков ($V_{общий}$).

Объем одного шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ - его радиус.

Диаметр шарика $d_{шара} = 1$ см, значит, его радиус $r_{шара} = \frac{d_{шара}}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Тогда объем одного шарика равен:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (0,5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 0,125 = \frac{0,5\pi}{3}$ см$^3$.

Общий объем четырех шариков:

$V_{общий} = 4 \cdot V_{шара} = 4 \cdot \frac{0,5\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ см$^3$.

Теперь найдем объем вытесненной воды ($V_{воды}$) через параметры мензурки.

Объем вытесненной воды, имеющий форму цилиндра, равен $V_{воды} = S_{основания} \cdot \Delta h = \pi R^2 \Delta h$, где $R$ - радиус основания мензурки, а $\Delta h$ - искомое изменение уровня воды.

Диаметр мензурки $D_{мензурки} = 2,5$ см, значит, ее радиус $R = \frac{D_{мензурки}}{2} = \frac{2,5}{2} = 1,25$ см.

Приравняем объем шариков к объему вытесненной воды:

$V_{общий} = V_{воды}$

$\frac{2\pi}{3} = \pi R^2 \Delta h$

$\frac{2\pi}{3} = \pi (1,25)^2 \Delta h$

Сократим $\pi$ и выразим $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{2/3}{(1,25)^2} = \frac{2/3}{1,5625}$

Для точного расчета представим десятичную дробь $1,25$ в виде обыкновенной: $1,25 = \frac{5}{4}$.

$\Delta h = \frac{2/3}{(5/4)^2} = \frac{2/3}{25/16} = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{25} = \frac{32}{75}$ см.

Ответ: уровень воды в мензурке изменится на $\frac{32}{75}$ см.

508. Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?

Для того чтобы определить, сколько кубометров земли потребуется для клумбы, необходимо вычислить ее объем. Клумба имеет форму шарового сегмента.

Нам даны следующие параметры:

• Радиус основания сегмента: $r = 5$ м
• Высота сегмента: $h = 60$ см

Прежде всего, необходимо привести все величины к единой системе единиц. Поскольку ответ требуется в кубических метрах, переведем высоту из сантиметров в метры:

$h = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$

Объем шарового сегмента $V$ вычисляется по формуле, использующей высоту сегмента $h$ и радиус его основания $r$:

$V = \frac{1}{6} \pi h (3r^2 + h^2)$

Подставим известные значения в эту формулу:

$V = \frac{1}{6} \pi \cdot 0,6 \cdot (3 \cdot 5^2 + (0,6)^2)$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим выражение в скобках:

$3r^2 + h^2 = 3 \cdot 5^2 + (0,6)^2 = 3 \cdot 25 + 0,36 = 75 + 0,36 = 75,36$

2. Подставим полученное значение обратно в формулу объема:

$V = \frac{1}{6} \pi \cdot 0,6 \cdot 75,36$

3. Упростим выражение:

$V = \frac{0,6}{6} \pi \cdot 75,36 = 0,1 \pi \cdot 75,36$

$V = 7,536 \pi \text{ м}^3$

Это точное значение объема. Для практических нужд можно найти приближенное числовое значение, используя $\pi \approx 3,1416$:

$V \approx 7,536 \cdot 3,1416 \approx 23,675 \text{ м}^3$

Округляя до сотых, получаем $23,68 \text{ м}^3$.

Ответ: для устройства клумбы потребуется $7,536 \pi \text{ м}^3$ земли, что составляет приблизительно $23,68 \text{ м}^3$.

509. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объём общей части шаров к объёму одного шара?

Пусть радиус каждого из двух шаров равен $R$. Согласно условию задачи, центр одного шара лежит на поверхности другого. Это означает, что расстояние между центрами шаров равно их радиусу $R$.

Общая часть двух пересекающихся шаров представляет собой тело, состоящее из двух одинаковых шаровых сегментов, приложенных друг к другу основаниями. Объем этого тела $V_{общ}$ равен удвоенному объему одного шарового сегмента $V_{сег}$.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Найдем высоту $h$ нашего шарового сегмента. Рассмотрим осевое сечение шаров, проходящее через их центры. В сечении мы увидим два пересекающихся круга радиуса $R$ с расстоянием между центрами, равным $R$. Плоскость, в которой лежит общее основание двух шаровых сегментов, перпендикулярна линии, соединяющей центры шаров, и проходит через ее середину. Таким образом, расстояние от центра любого из шаров до этой плоскости равно $R/2$.

Высота шарового сегмента $h$ — это расстояние от его вершины до основания. Она равна разности между радиусом шара $R$ и расстоянием от центра шара до плоскости основания сегмента. Следовательно, $h = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

Теперь можем вычислить объем одного шарового сегмента: $V_{сег} = \pi (\frac{R}{2})^2 (R - \frac{1}{3} \cdot \frac{R}{2}) = \pi \frac{R^2}{4} (R - \frac{R}{6}) = \pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{5R}{6} = \frac{5\pi R^3}{24}$.

Объем общей части шаров равен удвоенному объему сегмента: $V_{общ} = 2 \cdot V_{сег} = 2 \cdot \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{10\pi R^3}{24} = \frac{5\pi R^3}{12}$.

Объем одного шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Найдем искомое отношение объема общей части шаров к объему одного шара: $\frac{V_{общ}}{V_{шара}} = \frac{\frac{5\pi R^3}{12}}{\frac{4\pi R^3}{3}} = \frac{5\pi R^3}{12} \cdot \frac{3}{4\pi R^3} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 4} = \frac{15}{48}$.

Сократив дробь на 3, получаем: $\frac{15}{48} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

510. Найдите объём шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Для нахождения объёма шарового сегмента используется формула $V = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h)$, где $R$ — это радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Из условия задачи нам известны радиус шара $R = 75$ см и радиус окружности основания сегмента $r = 60$ см.

Для вычисления объёма необходимо сначала найти высоту сегмента $h$. Для этого рассмотрим осевое сечение шара, перпендикулярное основанию сегмента. В сечении образуется прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания сегмента $r$ и расстояние от центра шара до основания сегмента $d$, а гипотенузой — радиус шара $R$.

По теореме Пифагора имеем: $R^2 = r^2 + d^2$.
Найдём расстояние $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента:
$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{75^2 - 60^2} = \sqrt{(75 - 60)(75 + 60)} = \sqrt{15 \cdot 135} = \sqrt{15 \cdot (9 \cdot 15)} = \sqrt{15^2 \cdot 3^2} = 15 \cdot 3 = 45$ см.

Секущая плоскость делит шар на два сегмента: меньший и больший. В зависимости от того, какой сегмент рассматривается, его высота будет разной. Так как в условии не уточнено, какой из двух сегментов имеется в виду, задача имеет два решения.

1. Решение для меньшего сегмента.
Высота меньшего сегмента вычисляется как $h_1 = R - d = 75 - 45 = 30$ см.
Объём меньшего сегмента равен:
$V_1 = \frac{1}{3}\pi h_1^2(3R - h_1) = \frac{1}{3}\pi \cdot 30^2 \cdot (3 \cdot 75 - 30) = \frac{1}{3}\pi \cdot 900 \cdot (225 - 30) = 300\pi \cdot 195 = 58500\pi$ см$^3$.

2. Решение для большего сегмента.
Высота большего сегмента вычисляется как $h_2 = R + d = 75 + 45 = 120$ см.
Объём большего сегмента равен:
$V_2 = \frac{1}{3}\pi h_2^2(3R - h_2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 120^2 \cdot (3 \cdot 75 - 120) = \frac{1}{3}\pi \cdot 14400 \cdot (225 - 120) = 4800\pi \cdot 105 = 504000\pi$ см$^3$.

Ответ: $58500\pi$ см$^3$ или $504000\pi$ см$^3$.

511. Диаметр шара разделён на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объём получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

По условию задачи, диаметр шара, равный $2R$, разделен на три равные части. Длина каждой части составляет $\frac{2R}{3}$. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Эти плоскости отсекают от шара два одинаковых шаровых сегмента (по краям) и образуют один шаровой слой (в центре). Высота этого шарового слоя равна длине средней части диаметра, то есть $h = \frac{2R}{3}$.

Объём шарового слоя можно найти, вычев из общего объёма шара объёмы двух шаровых сегментов, которые отсекаются плоскостями.

1. Найдём объём всего шара. Формула объёма шара:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

2. Найдём объём одного из отсечённых шаровых сегментов. Высота каждого шарового сегмента также равна $\frac{2R}{3}$. Пусть $h_{сегмента} = \frac{2R}{3}$.

Формула для объёма шарового сегмента:

$V_{сегмента} = \pi h_{сегмента}^2 (R - \frac{h_{сегмента}}{3})$

Подставим значение высоты $h_{сегмента}$:

$V_{сегмента} = \pi (\frac{2R}{3})^2 (R - \frac{1}{3} \cdot \frac{2R}{3})$

$V_{сегмента} = \pi \frac{4R^2}{9} (R - \frac{2R}{9})$

$V_{сегмента} = \pi \frac{4R^2}{9} (\frac{9R - 2R}{9})$

$V_{сегмента} = \pi \frac{4R^2}{9} \cdot \frac{7R}{9} = \frac{28\pi R^3}{81}$

3. Так как у нас два одинаковых шаровых сегмента, их суммарный объём равен:

$2 \cdot V_{сегмента} = 2 \cdot \frac{28\pi R^3}{81} = \frac{56\pi R^3}{81}$

4. Теперь найдём объём шарового слоя, вычтя из объёма шара объём двух сегментов:

$V_{слоя} = V_{шара} - 2 \cdot V_{сегмента}$

$V_{слоя} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{56\pi R^3}{81}$

Приведём первое слагаемое к общему знаменателю 81:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 27}\pi R^3 = \frac{108\pi R^3}{81}$

Выполним вычитание:

$V_{слоя} = \frac{108\pi R^3}{81} - \frac{56\pi R^3}{81} = \frac{(108 - 56)\pi R^3}{81} = \frac{52\pi R^3}{81}$

Ответ: $\frac{52\pi R^3}{81}$

512. В шаре проведена плоскость, перпендикулярная к диаметру и делящая его на части 6 см и 12 см. Найдите объёмы двух полученных частей шара.

По условию задачи, в шаре проведена плоскость, которая перпендикулярна диаметру и делит его на отрезки длиной 6 см и 12 см. Эти отрезки являются высотами двух образовавшихся шаровых сегментов.

1. Найдём диаметр и радиус шара.

Диаметр $d$ шара равен сумме длин отрезков, на которые его делит плоскость:

$d = 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 18 \text{ см}$

Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}$

2. Найдём объёмы шаровых сегментов.

Плоскость делит шар на два шаровых сегмента. Высоты этих сегментов равны длинам отрезков диаметра, то есть $h_1 = 6 \text{ см}$ и $h_2 = 12 \text{ см}$.

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле:

$V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$

где $h$ — высота сегмента, $R$ — радиус шара.

Вычислим объём первого сегмента ($V_1$) с высотой $h_1 = 6 \text{ см}$:

$V_1 = \pi \cdot 6^2 (9 - \frac{6}{3}) = \pi \cdot 36 (9 - 2) = 36\pi \cdot 7 = 252\pi \text{ см}^3$

Вычислим объём второго сегмента ($V_2$) с высотой $h_2 = 12 \text{ см}$:

$V_2 = \pi \cdot 12^2 (9 - \frac{12}{3}) = \pi \cdot 144 (9 - 4) = 144\pi \cdot 5 = 720\pi \text{ см}^3$

Для проверки можно сложить объёмы сегментов и сравнить с общим объёмом шара, который вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \cdot 9^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 = 4\pi \cdot 243 = 972\pi \text{ см}^3$

$V_1 + V_2 = 252\pi + 720\pi = 972\pi \text{ см}^3$

Сумма объёмов сегментов равна общему объёму шара, что подтверждает правильность расчётов.

Ответ: объёмы двух полученных частей шара равны $252\pi \text{ см}^3$ и $720\pi \text{ см}^3$.

513. Найдите объём шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $R$ — радиус шара, $r$ — радиус окружности основания шарового сегмента, $h$ — высота соответствующего шарового сегмента. Объем шарового сектора $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$

По условию задачи даны: $R = 75$ см, $r = 60$ см. Для нахождения объема шарового сектора необходимо сначала определить высоту шарового сегмента $h$.

Высота сегмента $h$ связана с расстоянием $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние $d$ и радиус основания сегмента $r$, а гипотенузой — радиус шара $R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

Найдем расстояние $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{75^2 - 60^2}$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$d = \sqrt{(75 - 60)(75 + 60)} = \sqrt{15 \cdot 135} = \sqrt{15 \cdot (15 \cdot 9)} = \sqrt{15^2 \cdot 3^2} = 15 \cdot 3 = 45$ см.

Плоскость, пересекающая шар, делит его на два шаровых сегмента: меньший и больший. Оба этих сегмента имеют одинаковый радиус основания $r = 60$ см. Следовательно, задача имеет два возможных решения, в зависимости от того, какой из двух сегментов рассматривается.

Случай 1: Рассматривается меньший шаровой сегмент

Высота меньшего шарового сегмента $h_1$ вычисляется как разность между радиусом шара и расстоянием $d$:

$h_1 = R - d = 75 - 45 = 30$ см.

Теперь можем найти объем соответствующего шарового сектора:

$V_1 = \frac{2}{3}\pi R^2 h_1 = \frac{2}{3}\pi \cdot 75^2 \cdot 30 = 2 \pi \cdot 5625 \cdot 10 = 112500\pi$ см?.

Ответ: $112500\pi$ см?.

Случай 2: Рассматривается больший шаровой сегмент

Высота большего шарового сегмента $h_2$ вычисляется как сумма радиуса шара и расстояния $d$:

$h_2 = R + d = 75 + 45 = 120$ см.

Найдем объем соответствующего шарового сектора:

$V_2 = \frac{2}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{2}{3}\pi \cdot 75^2 \cdot 120 = 2 \pi \cdot 5625 \cdot 40 = 450000\pi$ см?.

Ответ: $450000\pi$ см?.

514. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объём получившегося шарового сектора.

При вращении кругового сектора вокруг одного из его радиусов образуется тело, называемое шаровым сектором. Радиус этого шарового сектора совпадает с радиусом исходного кругового сектора, то есть равен $R$.

Объем шарового сектора вычисляется по формуле:$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$,где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота соответствующего шарового сегмента (шапочки).

В нашем случае осью вращения является один из радиусов кругового сектора. Высота шарового сегмента $h$ — это разность между радиусом шара $R$ и проекцией второго радиуса на ось вращения.

Угол между радиусами составляет $30^\circ$. Проекция второго радиуса на ось вращения равна $R \cos(30^\circ)$.

Следовательно, высота $h$ равна:$h = R - R \cos(30^\circ)$

Зная, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, находим $h$:$h = R - R \frac{\sqrt{3}}{2} = R\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Теперь подставим найденное значение $h$ в формулу для объема шарового сектора:$V = \frac{2}{3}\pi R^2 \left(R\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

Упростим выражение:$V = \frac{2}{3}\pi R^3 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi R^3 - \frac{2}{3}\pi R^3 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi R^3}{3} - \frac{\pi R^3 \sqrt{3}}{3} = \frac{\pi R^3 (2 - \sqrt{3})}{3}$

Ответ: $V = \frac{\pi R^3 (2 - \sqrt{3})}{3}$

515. Вода покрывает приблизительно $\frac{3}{4}$ земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша? (Радиус Земли считать равным 6375 км.)

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, какую долю от всей поверхности Земли занимает суша, а затем вычислить площадь этой части, используя формулу площади поверхности сферы.

1. Определение доли суши

Примем всю поверхность Земли за 1. Согласно условию, вода покрывает $\frac{3}{4}$ земной поверхности. Чтобы найти долю суши, нужно вычесть долю воды из общей единицы:

Доля суши = $1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Следовательно, суша занимает $\frac{1}{4}$ всей поверхности Земли.

2. Вычисление площади поверхности Земли и площади суши

Землю будем считать шаром. Площадь поверхности шара (сферы) находится по формуле:

$S_{сферы} = 4 \pi R^2$

где $R$ — радиус шара.

Площадь суши ($S_{суши}$) составляет $\frac{1}{4}$ от общей площади поверхности Земли ($S_{Земли}$):

$S_{суши} = \frac{1}{4} \times S_{Земли} = \frac{1}{4} \times (4 \pi R^2)$

Сокращая множитель 4, мы получаем более простую формулу для вычисления площади суши:

$S_{суши} = \pi R^2$

3. Расчет конкретного значения

По условию задачи радиус Земли $R = 6375$ км. Подставим это значение в полученную формулу:

$S_{суши} = \pi \times (6375)^2$

Сначала вычислим квадрат радиуса:

$6375^2 = 6375 \times 6375 = 40\ 640\ 625$ км?.

Таким образом, точная площадь суши, выраженная через число $\pi$, равна:

$S_{суши} = 40\ 640\ 625 \pi$ км?.

Для получения окончательного численного ответа, используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$S_{суши} \approx 40\ 640\ 625 \times 3,14 = 127\ 601\ 562,5$ км?.

Ответ: Площадь земной поверхности, которую занимает суша, составляет $40\ 640\ 625 \pi$ км?, что приблизительно равно 127 601 562,5 км?.

516. Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

Для решения задачи нужно сначала найти площадь поверхности футбольного мяча (сферы), а затем увеличить полученное значение на 8%, чтобы учесть материал, который пойдет на швы.

1. Находим площадь поверхности мяча
Площадь поверхности сферы ($S$) вычисляется по формуле: $S = 4\pi r^2$, где $r$ — это радиус сферы.
Согласно условию, радиус футбольного мяча $r = 10$ см.
Подставляем значение радиуса в формулу: $S = 4 \cdot \pi \cdot (10 \text{ см})^2 = 4 \cdot \pi \cdot 100 \text{ см}^2 = 400\pi \text{ см}^2$.

2. Рассчитываем общее количество кожи с учётом припуска на швы
К найденной площади поверхности нужно добавить 8%. Это значит, что итоговое количество кожи составит 100% + 8% = 108% от площади поверхности мяча. Чтобы найти 108% от числа, нужно умножить это число на 1.08.
$S_{общая} = S \cdot 1.08$
$S_{общая} = 400\pi \text{ см}^2 \cdot 1.08 = 432\pi \text{ см}^2$.

Таким образом, для изготовления покрышки футбольного мяча потребуется $432\pi$ см? кожи. Для получения численного значения можно использовать приближение $\pi \approx 3.14$:
$432 \cdot 3.14 \approx 1356.48 \text{ см}^2$.

Ответ: $432\pi \text{ см}^2$.

517. Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

Для доказательства данного утверждения введем обозначения и запишем формулы для площадей поверхностей.

Пусть $R$ – радиус сферы. Тогда площадь ее поверхности вычисляется по формуле:

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

Пусть $h$, $r$ и $l$ – соответственно высота, радиус основания и образующая конуса. Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его основания и боковой поверхности:

$S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$

Теперь воспользуемся условиями задачи:

1. Высота конуса равна диаметру сферы: $h = 2R$.
2. Диаметр основания конуса равен образующей конуса: $2r = l$.

Высота, радиус основания и образующая конуса связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник:

$h^2 + r^2 = l^2$

Подставим в это соотношение выражения из условий задачи:

$(2R)^2 + r^2 = (2r)^2$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение, чтобы связать радиус сферы $R$ и радиус основания конуса $r$:

$4R^2 + r^2 = 4r^2$

$4R^2 = 4r^2 - r^2$

$4R^2 = 3r^2$

Теперь вернемся к формуле площади полной поверхности конуса и подставим в нее условие $l = 2r$:

$S_{конуса} = \pi r (r + l) = \pi r (r + 2r) = \pi r (3r) = 3\pi r^2$

Мы получили, что площадь полной поверхности конуса равна $3\pi r^2$. Из соотношения, полученного по теореме Пифагора, мы знаем, что $3r^2 = 4R^2$. Подставим это в выражение для площади конуса:

$S_{конуса} = \pi (3r^2) = \pi (4R^2) = 4\pi R^2$

Сравнивая полученный результат с формулой площади сферы, видим, что они равны:

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

$S_{конуса} = 4\pi R^2$

Следовательно, $S_{сферы} = S_{конуса}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.