Номер 504, страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 4. Объём шара и площадь сферы. Глава 5. Объёмы тел - номер 504, страница 137.

Условие.

504. Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луны и Земли, считая их шарами.

Решение 2.

Решение 6.

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма шара и данными из условия. Мы принимаем, что Луна и Земля имеют форму шара.

1. Обозначим диаметр Земли как $D_З$, а диаметр Луны как $D_Л$. Согласно условию, диаметр Луны составляет четверть диаметра Земли:

$D_Л = \frac{1}{4} D_З$

2. Радиус ($r$) любого шара связан с его диаметром ($D$) соотношением $r = \frac{D}{2}$. Используя это, найдём соотношение между радиусом Луны ($r_Л$) и радиусом Земли ($r_З$):

$r_Л = \frac{D_Л}{2} = \frac{\frac{1}{4} D_З}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{D_З}{2} = \frac{1}{4} r_З$

Таким образом, радиус Луны в 4 раза меньше радиуса Земли.

3. Формула объёма шара имеет вид:

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

4. Найдём отношение объёма Земли ($V_З$) к объёму Луны ($V_Л$):

$\frac{V_З}{V_Л} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_З^3}{\frac{4}{3} \pi r_Л^3}$

Сократив общие множители $\frac{4}{3} \pi$, получим:

$\frac{V_З}{V_Л} = \frac{r_З^3}{r_Л^3} = (\frac{r_З}{r_Л})^3$

5. Мы уже установили, что $r_Л = \frac{1}{4} r_З$, откуда следует, что $\frac{r_З}{r_Л} = 4$. Подставим это значение в наше соотношение объёмов:

$\frac{V_З}{V_Л} = (4)^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Это означает, что объём Земли в 64 раза больше объёма Луны.

Ответ: Объём Луны в 64 раза меньше объёма Земли (или объём Луны составляет $\frac{1}{64}$ от объёма Земли).