Номер 506, страница 137 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 4. Объём шара и площадь сферы. Глава 5. Объёмы тел - номер 506, страница 137.

Условие.

506. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

Решение 2.

Решение 6.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить объем конического стаканчика с общим объемом двух ложек мороженого. Если объем мороженого окажется больше объема стаканчика, то оно его переполнит, когда растает.

Сначала вычислим объем конического стаканчика. Формула для объема конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота конуса.

По условию, глубина (высота) стаканчика $h = 12$ см. Диаметр его верхней части составляет 5 см, следовательно, радиус основания $r = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2,5$ см.

Подставим известные значения в формулу объема конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot (2,5)^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 6,25 \cdot 12 = 4 \cdot 6,25 \pi = 25\pi$ см?.

Далее вычислим общий объем двух ложек мороженого. Каждая ложка имеет форму полушария с диаметром 5 см. Радиус каждого полушария, таким образом, также равен $r = 2,5$ см.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$. Объем одного полушария равен половине объема шара: $V_{полушария} = \frac{1}{2} \cdot V_{шара} = \frac{2}{3} \pi r^3$.

Поскольку у нас две ложки мороженого в виде полушарий, их суммарный объем равен объему целого шара с тем же радиусом:

$V_{мороженого} = 2 \cdot V_{полушария} = \frac{4}{3} \pi r^3$.

Подставим значение радиуса:

$V_{мороженого} = \frac{4}{3} \pi \cdot (2,5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 15,625 = \frac{62,5}{3}\pi = \frac{125}{6}\pi$ см?.

Теперь сравним объем стаканчика и объем мороженого:

$V_{конуса} = 25\pi$ см?

$V_{мороженого} = \frac{125}{6}\pi$ см?

Для удобства сравнения, представим $25\pi$ в виде дроби со знаменателем 6:

$25\pi = \frac{25 \cdot 6}{6}\pi = \frac{150}{6}\pi$ см?.

Сравнивая $\frac{150}{6}\pi$ и $\frac{125}{6}\pi$, мы видим, что $\frac{150}{6}\pi > \frac{125}{6}\pi$.

Следовательно, $V_{конуса} > V_{мороженого}$.

Объем стаканчика больше, чем объем растаявшего мороженого, а это значит, что мороженое не переполнит стаканчик.

Ответ: Нет, мороженое не переполнит стаканчик.