Страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

482. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно m и составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина. По условию, боковое ребро равно $m$, например, $SA = m$. Высота пирамиды $H$ опускается из вершины $S$ в центр основания $O$ (точка пересечения диагоналей квадрата).

Объём пирамиды находится по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Угол, который боковое ребро ($SA$) составляет с плоскостью основания, — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость ($OA$). Таким образом, по условию, угол $\angle SAO = ?$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $SA = m$, катет $SO$ является высотой пирамиды $H$, а катет $OA$ — половиной диагонали основания. Используя тригонометрические соотношения, найдём $H$ и $OA$:

Высота $H$ противолежит углу $?$: $H = SO = SA \cdot \sin(\angle SAO) = m \sin(?)$

Проекция бокового ребра на основание $OA$ прилежит к углу $?$: $OA = SA \cdot \cos(\angle SAO) = m \cos(?)$

Так как $OA$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$, то вся диагональ $d$ равна: $d = AC = 2 \cdot OA = 2m \cos(?)$

Площадь основания (квадрата) можно вычислить через его диагональ по формуле $S = \frac{1}{2}d^2$: $S_{осн} = \frac{1}{2} (2m \cos(?))^2 = \frac{1}{2} \cdot 4m^2 \cos^2(?) = 2m^2 \cos^2(?)$

Теперь, подставив найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма, получим: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (2m^2 \cos^2(?)) \cdot (m \sin(?))$

Упростив выражение, получаем конечную формулу для объёма пирамиды: $V = \frac{2}{3} m^3 \sin(?) \cos^2(?)$

Ответ: $V = \frac{2}{3} m^3 \sin(?) \cos^2(?)$.

483. Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см.

Дано: правильная шестиугольная пирамида.
Боковое ребро $l = 13$ см.
Диаметр вписанного в основание круга $d = 6$ см.

Для начала найдем параметры основания пирамиды — правильного шестиугольника.
Радиус вписанного в основание круга равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности связан с его стороной $a$ формулой $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда выразим и найдем сторону основания $a$:
$a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).
Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (4 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 18\sqrt{3}$ см?.

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).
Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом описанной около основания окружности $R$ (катет).
Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне: $R = a = 2\sqrt{3}$ см.
По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.
$H^2 = l^2 - R^2 = 13^2 - (2\sqrt{3})^2 = 169 - 12 = 157$.
$H = \sqrt{157}$ см.

3. Вычислим объём ($V$).
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot \sqrt{157} = 6\sqrt{3 \cdot 157} = 6\sqrt{471}$ см?.
Ответ: $6\sqrt{471}$ см?.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

1. Найдем периметр основания ($P_{осн}$).
$P_{осн} = 6a = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.

2. Найдем апофему пирамиды ($h_a$).
Апофему можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$ (катет), апофемой $h_a$ (гипотенуза) и радиусом вписанной в основание окружности $r$ (катет).
По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + r^2$.
$h_a^2 = (\sqrt{157})^2 + 3^2 = 157 + 9 = 166$.
$h_a = \sqrt{166}$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{166} = 6\sqrt{3 \cdot 166} = 6\sqrt{498}$ см?.
Ответ: $6\sqrt{498}$ см?.

484. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = ВС = 13 см, АС = 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол в 30°. Вычислите объём пирамиды.

1. Нахождение площади основания пирамиды

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 13$ см и основанием $AC = 10$ см. Для вычисления его площади $S_{осн}$ проведем высоту $BH$ к стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике эта высота также является медианой, поэтому она делит основание $AC$ пополам: $AH = HC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Из прямоугольного треугольника $BHC$ по теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$:

$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь основания пирамиды равна площади треугольника $ABC$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

2. Нахождение высоты пирамиды

Пусть $SO$ — высота пирамиды $H$. По условию, каждое боковое ребро образует с высотой угол $30^\circ$. Это означает, что если мы рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $SO$ и боковыми ребрами ($SA, SB, SC$), то углы $\angle ASO, \angle BSO, \angle CSO$ будут равны $30^\circ$.

Так как треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $O$), имеют общий катет $SO$ и равный острый угол ($30^\circ$), они равны по катету и острому углу. Из равенства этих треугольников следует, что их вторые катеты также равны: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а отрезки $OA, OB, OC$ — ее радиусом $R$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a,b,c$ — стороны треугольника:

$R = \frac{13 \cdot 13 \cdot 10}{4 \cdot S_{осн}} = \frac{1690}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $SOA$ найдем высоту пирамиды $H=SO$. В этом треугольнике нам известен катет $OA=R$ и прилежащий к высоте $SO$ угол $\angle ASO = 30^\circ$.

Используя определение тангенса, получаем: $\tan(\angle ASO) = \frac{OA}{SO}$.

Отсюда выражаем высоту $H=SO$:

$H = SO = \frac{OA}{\tan(30^\circ)} = \frac{R}{1/\sqrt{3}} = R\sqrt{3} = \frac{169}{24} \cdot \sqrt{3} = \frac{169\sqrt{3}}{24}$ см.

3. Вычисление объёма пирамиды

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$. Подставим найденные значения площади основания и высоты:

$V = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot \frac{169\sqrt{3}}{24} = 20 \cdot \frac{169\sqrt{3}}{24}$

Сократим и вычислим окончательное значение:

$V = \frac{20 \cdot 169\sqrt{3}}{24} = \frac{5 \cdot 169\sqrt{3}}{6} = \frac{845\sqrt{3}}{6}$ см³.

Ответ: $V = \frac{845\sqrt{3}}{6}$ см³.

485. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами а и b. Каждое её боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Его площадь $S_{осн}$ равна:

$$ S_{осн} = \frac{1}{2}ab $$

Согласно условию, каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под одинаковым углом $\phi$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине его гипотенузы.

Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$

Радиус $R$ описанной окружности равен половине длины гипотенузы:

$$ R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} $$

Радиус $R$ является проекцией бокового ребра на плоскость основания. Высота пирамиды $H$, радиус $R$ и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром (гипотенузой этого треугольника) и его проекцией $R$ (катетом) равен $\phi$. Из этого прямоугольного треугольника находим высоту $H$ (второй катет):

$$ \tan(\phi) = \frac{H}{R} $$

Отсюда выразим высоту $H$:

$$ H = R \cdot \tan(\phi) = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \tan(\phi) $$

Теперь подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма пирамиды:

$$ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{ab}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \tan(\phi)\right) $$

Упрощая выражение, получаем окончательный результат:

$$ V = \frac{ab \sqrt{a^2 + b^2} \tan(\phi)}{12} $$

Ответ: $V = \frac{ab \sqrt{a^2 + b^2} \tan(\phi)}{12}$

486. Докажите, что если в пирамиду можно вписать шар, то объём V пирамиды можно вычислить по формуле V =$\frac{1}{3}$S ∙ r, где S — площадь полной поверхности пирамиды, а r — радиус вписанного в пирамиду шара.

Пусть дана произвольная пирамида, в которую вписан шар с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

По определению вписанного шара, он касается всех граней пирамиды. Это означает, что расстояние от его центра $O$ до плоскости каждой грани равно радиусу $r$.

Соединим центр шара $O$ со всеми вершинами пирамиды. В результате исходная пирамида будет разбита на несколько меньших пирамид. Основанием каждой такой малой пирамиды будет одна из граней исходной пирамиды, а общей вершиной для всех них будет точка $O$.

Пусть площади граней исходной пирамиды (включая основание) равны $S_1, S_2, \dots, S_n$. Тогда площадь полной поверхности $S$ исходной пирамиды равна их сумме: $S = S_1 + S_2 + \dots + S_n$.

Рассмотрим одну из малых пирамид, например, с основанием $S_i$. Ее вершина — точка $O$. Высота этой пирамиды, опущенная из вершины $O$ на основание $S_i$, является перпендикуляром от центра шара до грани. Как мы установили, длина этой высоты равна радиусу вписанного шара $r$.

Объем $V_i$ этой малой пирамиды вычисляется по формуле $V_i = \frac{1}{3} S_i \cdot r$. Это справедливо для всех малых пирамид, на которые была разбита исходная.

Общий объем $V$ исходной пирамиды равен сумме объемов всех малых пирамид: $V = V_1 + V_2 + \dots + V_n = \frac{1}{3} S_1 \cdot r + \frac{1}{3} S_2 \cdot r + \dots + \frac{1}{3} S_n \cdot r$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}r$ за скобки: $V = \frac{1}{3} r (S_1 + S_2 + \dots + S_n)$.

Поскольку выражение в скобках равно площади полной поверхности пирамиды $S$, мы получаем искомую формулу: $V = \frac{1}{3} S \cdot r$.

Ответ: Утверждение доказано.

487. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1,5 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

По условию задачи, высота пирамиды $H = 1,5$ см, а основанием является ромб со стороной $a = 6$ см. Для нахождения объёма необходимо вычислить площадь основания $S_{осн}$.

Так как все двугранные углы при основании пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для ромба центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а её проекцию на основание (центр вписанной окружности) как $O$. Тогда $SO = H = 1,5$ см.

Радиус $r$ вписанной в ромб окружности можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник $\triangle SOK$, где $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной ромба. В этом треугольнике:

• $SO$ — катет, равный высоте пирамиды $H$.
• $OK$ — катет, равный радиусу вписанной окружности $r$.
• $\angle SKO$ — линейный угол двугранного угла при основании, по условию он равен $45^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SOK$ имеем:

$\text{tg}(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$

Подставляем известные значения:

$\text{tg}(45^\circ) = \frac{1,5}{r}$

Поскольку $\text{tg}(45^\circ) = 1$, получаем:

$1 = \frac{1,5}{r} \Rightarrow r = 1,5$ см.

Высота ромба $h_{ромба}$ равна диаметру вписанной в него окружности, то есть $h_{ромба} = 2r$.

$h_{ромба} = 2 \cdot 1,5 = 3$ см.

Теперь можно найти площадь ромба по формуле произведения стороны на высоту:

$S_{осн} = a \cdot h_{ромба} = 6 \cdot 3 = 18$ см².

Наконец, вычисляем объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 1,5 = 6 \cdot 1,5 = 9$ см³.

Ответ: 9 см³.

488. Найдите объём треугольной пирамиды SABC, если:

а) ∠CAB = 90°, BC = c, ∠ABC = φ и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол θ;

б) AB = 12 см, ВС = СА = 10 см и двугранные углы при основании равны 45°;

в) боковые рёбра попарно перпендикулярны и имеют длины а, b и с.

а)

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.
Основанием является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle CAB = 90^{\circ}$. Гипотенуза $BC = c$, а угол $\angle ABC = \phi$. Катеты треугольника равны:
$AB = BC \cdot \cos(\angle ABC) = c \cos\phi$
$AC = BC \cdot \sin(\angle ABC) = c \sin\phi$
Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} (c \cos\phi)(c \sin\phi) = \frac{1}{2} c^2 \sin\phi \cos\phi$.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\phi) = 2 \sin\phi \cos\phi $, получаем:
$S_{осн} = \frac{1}{4} c^2 \sin(2\phi)$.

2. Найдём высоту пирамиды.
По условию, каждое боковое ребро ($SA, SB, SC$) составляет с плоскостью основания один и тот же угол $\theta$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Пусть $O$ — проекция точки $S$ на плоскость $ABC$, тогда $SO = H$ — высота пирамиды.
Треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$, $\triangle SOC$ — прямоугольные (т.к. $SO \perp (ABC)$). Углы $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = \theta$. Из равенства этих треугольников по катету $SO$ и острому углу $\theta$ следует, что $OA = OB = OC$. Таким образом, точка $O$ — центр описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Значит, точка $O$ — середина гипотенузы $BC$.
Радиус описанной окружности $R = OB = \frac{1}{2} BC = \frac{c}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle SOB$ находим высоту $H$:
$H = SO = OB \cdot \tan(\angle SBO) = R \tan\theta = \frac{c}{2} \tan\theta$.

3. Вычислим объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} c^2 \sin(2\phi)\right) \cdot \left(\frac{c}{2} \tan\theta\right) = \frac{c^3 \sin(2\phi) \tan\theta}{24}$.

Ответ: $V = \frac{c^3 \sin(2\phi) \tan\theta}{24}$.

б)

1. Найдём площадь основания.
Основание — треугольник $ABC$ со сторонами $AB=12$ см, $BC=10$ см, $CA=10$ см. Это равнобедренный треугольник.
Вычислим его площадь по формуле Герона. Полупериметр $p$ равен:
$p = \frac{12+10+10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
Площадь основания:
$S_{осн} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)} = \sqrt{16(16-12)(16-10)(16-10)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6} = 4 \cdot 2 \cdot 6 = 48$ см².

2. Найдём высоту пирамиды.
По условию, двугранные углы при основании равны $45^{\circ}$. Это означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр окружности, вписанной в треугольник основания. Пусть $O$ — проекция точки $S$ на плоскость $ABC$, тогда $SO = H$ — высота пирамиды, а $O$ — инцентр $\triangle ABC$.
Рассмотрим перпендикуляр $OK$, опущенный из точки $O$ на сторону $AB$. Тогда $SK \perp AB$ (по теореме о трёх перпендикулярах), и угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$. По условию, $\angle SKO = 45^{\circ}$.
Длина отрезка $OK$ равна радиусу вписанной окружности $r$.
Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$.
$r = \frac{48}{16} = 3$ см.
Из прямоугольного треугольника $\triangle SOK$ находим высоту $H$:
$H = SO = OK \cdot \tan(\angle SKO) = r \tan(45^{\circ}) = 3 \cdot 1 = 3$ см.

3. Вычислим объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 3 = 48$ см³.

Ответ: $V = 48$ см³.

в)

По условию, боковые рёбра пирамиды $SABC$ попарно перпендикулярны. Пусть вершина, из которой выходят эти рёбра, — это $S$. Тогда $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SC \perp SA$. Длины этих рёбер равны $a, b$ и $c$. Пусть $SA=a, SB=b, SC=c$.
Такую пирамиду можно рассматривать как часть прямоугольного параллелепипеда, отсеченную плоскостью, проходящей через три вершины, выходящие из одной. Примем за основание пирамиды одну из боковых граней, например, треугольник $SBC$.
1. Найдём площадь основания.
Так как $SB \perp SC$, треугольник $SBC$ является прямоугольным с катетами $SB=b$ и $SC=c$.
Площадь этого треугольника: $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC = \frac{1}{2} bc$.

2. Найдём высоту пирамиды.
Ребро $SA$ перпендикулярно рёбрам $SB$ и $SC$, а значит, оно перпендикулярно всей плоскости основания $(SBC)$.
Следовательно, ребро $SA$ является высотой пирамиды, опущенной на основание $SBC$.
$H = SA = a$.

3. Вычислим объём пирамиды.
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} S_{SBC} \cdot SA = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} bc\right) \cdot a = \frac{abc}{6}$.

Ответ: $V = \frac{abc}{6}$.

489. Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором AB = 20 см, АС = 29 см, ВС = 21 см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60°. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды $DABC$ используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Определение высоты пирамиды.По условию задачи, грани $DAB$ и $DAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Плоскости $DAB$ и $DAC$ пересекаются по ребру $DA$. Следовательно, ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и $DA$ является высотой пирамиды. Таким образом, $H = DA$.

2. Вычисление площади основания.Основанием пирамиды является треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 20$ см, $AC = 29$ см и $BC = 21$ см. Для нахождения его площади $S_{ABC}$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.Сначала найдем полупериметр $p$:$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{20 + 29 + 21}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.Теперь вычислим площадь $S_{ABC}$:$S_{ABC} = \sqrt{35(35-21)(35-29)(35-20)} = \sqrt{35 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 15} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 5)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ см$^2$.

3. Вычисление высоты пирамиды.Угол между гранью $DBC$ и плоскостью основания $ABC$ равен $60^\circ$. Этот угол является двугранным углом при ребре $BC$. Для его измерения построим линейный угол. В плоскости основания проведем высоту $AK$ к стороне $BC$ (то есть $AK \perp BC$). Так как $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $AK$ — это проекция наклонной $DK$ на эту плоскость, то по теореме о трех перпендикулярах $DK$ также перпендикулярна $BC$ ($DK \perp BC$).Следовательно, угол $\angle DKA$ — это линейный угол двугранного угла, и $\angle DKA = 60^\circ$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAK$ (угол $\angle DAK = 90^\circ$, так как $DA$ — высота). Высоту $DA$ можно найти из этого треугольника, но сначала нужно определить длину катета $AK$.$AK$ является высотой в треугольнике-основании $ABC$. Его длину можно найти, используя уже вычисленную площадь:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK$.$AK = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 210}{21} = \frac{420}{21} = 20$ см.Теперь из прямоугольного треугольника $DAK$ найдем высоту пирамиды $H = DA$:$H = DA = AK \cdot \tan(\angle DKA) = 20 \cdot \tan(60^\circ) = 20\sqrt{3}$ см.

4. Вычисление объема пирамиды.Подставим найденные значения площади основания $S_{ABC} = 210$ см$^2$ и высоты $H = 20\sqrt{3}$ см в формулу для объема:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot 20\sqrt{3} = 70 \cdot 20\sqrt{3} = 1400\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $1400\sqrt{3}$ см$^3$.

490. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны а и 0,5а, апофема боковой грани равна а. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$$ V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) $$

где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её нижнего и верхнего оснований соответственно.

1. Нахождение площадей оснований

В основаниях данной правильной усечённой пирамиды лежат правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $x$ вычисляется по формуле $S = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

Сторона нижнего основания по условию равна $a$. Найдём его площадь $S_1$:

$$ S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$

Сторона верхнего основания равна $0,5a$. Найдём его площадь $S_2$:

$$ S_2 = \frac{(0,5a)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{0,25a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16} $$

2. Нахождение высоты усечённой пирамиды

Высоту $h$ усечённой пирамиды можно найти, рассмотрев сечение, проходящее через апофему боковой грани $l$ и апофемы оснований (радиусы вписанных окружностей) $r_1$ и $r_2$. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию. Высота пирамиды $h$ является одним из катетов прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является апофема боковой грани $l=a$, а вторым катетом — разность апофем оснований $(r_1 - r_2)$.

Апофема (радиус вписанной окружности) равностороннего треугольника со стороной $x$ находится по формуле $r = \frac{x}{2\sqrt{3}}$.

Апофема нижнего основания:

$$ r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}} $$

Апофема верхнего основания:

$$ r_2 = \frac{0,5a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{4\sqrt{3}} $$

По теореме Пифагора для упомянутого прямоугольного треугольника имеем: $l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$. Выразим отсюда $h^2$:

$$ h^2 = l^2 - (r_1 - r_2)^2 $$

Вычислим разность апофем:

$$ r_1 - r_2 = \frac{a}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{4\sqrt{3}} = \frac{2a - a}{4\sqrt{3}} = \frac{a}{4\sqrt{3}} $$

Подставим известные значения в формулу для $h^2$:

$$ h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{4\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{16 \cdot 3} = a^2 - \frac{a^2}{48} = \frac{48a^2 - a^2}{48} = \frac{47a^2}{48} $$

Отсюда находим высоту $h$:

$$ h = \sqrt{\frac{47a^2}{48}} = \frac{a\sqrt{47}}{\sqrt{48}} = \frac{a\sqrt{47}}{4\sqrt{3}} $$

3. Вычисление объёма усечённой пирамиды

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $h$ в исходную формулу для объёма.

Сначала вычислим выражение $S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2$:

$$ \sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{16}} = \sqrt{\frac{3a^4}{64}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8} $$

$$ S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{8} + \frac{a^2\sqrt{3}}{16} $$

Приводя слагаемые к общему знаменателю 16, получаем:

$$ \frac{4a^2\sqrt{3} + 2a^2\sqrt{3} + a^2\sqrt{3}}{16} = \frac{7a^2\sqrt{3}}{16} $$

Теперь вычислим объём $V$:

$$ V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{47}}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{7a^2\sqrt{3}}{16} $$

Сократим $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$$ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{47}}{4} \cdot \frac{7a^2}{16} = \frac{7a^3\sqrt{47}}{3 \cdot 4 \cdot 16} = \frac{7a^3\sqrt{47}}{192} $$

Ответ: $V = \frac{7\sqrt{47}}{192} a^3$.

491. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны m и n (m > n). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним угол φ. Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть $S_1$ — площадь большего основания, а $S_2$ — площадь меньшего основания усеченной пирамиды. Основаниями являются равнобедренные прямоугольные треугольники.

Найдем площади оснований.У большего основания гипотенуза равна $m$. Если катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен $a$, то его гипотенуза равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, катеты большего основания равны $\frac{m}{\sqrt{2}}$. Его площадь $S_1$ равна:$S_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{\sqrt{2}} \cdot \frac{m}{\sqrt{2}} = \frac{m^2}{4}$.

Аналогично для меньшего основания с гипотенузой $n$. Его катеты равны $\frac{n}{\sqrt{2}}$, а площадь $S_2$ равна:$S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n}{\sqrt{2}} = \frac{n^2}{4}$.

Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию. Это означает, что боковое ребро, являющееся их общей стороной (ребро, соединяющее вершины прямых углов оснований), перпендикулярно плоскостям обоих оснований. Длина этого ребра является высотой усеченной пирамиды $H$.

Третья боковая грань, содержащая гипотенузы, составляет с основанием угол $\phi$. Эта грань является трапецией. Угол $\phi$ — это двугранный угол между плоскостью этой грани и плоскостью основания.

Для нахождения высоты $H$ рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $H$ и перпендикулярной гипотенузам оснований. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию. Основаниями этой трапеции являются высоты, опущенные из вершин прямых углов на гипотенузы в треугольниках оснований. Длина такой высоты в равнобедренном прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Таким образом, основания этой трапеции равны $\frac{m}{2}$ и $\frac{n}{2}$. Одна из боковых сторон трапеции — это высота пирамиды $H$, и она перпендикулярна основаниям трапеции. Другая боковая сторона (апофема третьей грани) наклонена к большему основанию под углом $\phi$. Проекция этой наклонной стороны на плоскость основания равна разности оснований трапеции: $\frac{m}{2} - \frac{n}{2} = \frac{m-n}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, проекцией апофемы и самой апофемой. В этом треугольнике катеты — это $H$ и $\frac{m-n}{2}$, а угол, противолежащий катету $H$, равен $\phi$. Отсюда получаем соотношение:$\text{tg}(\phi) = \frac{H}{\frac{m-n}{2}}$.

Выразим высоту $H$:$H = \frac{m-n}{2}\text{tg}(\phi)$.

Теперь найдем объём усеченной пирамиды по формуле:$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$:$V = \frac{1}{3} \left( \frac{m-n}{2}\text{tg}(\phi) \right) \left( \frac{m^2}{4} + \frac{n^2}{4} + \sqrt{\frac{m^2}{4} \cdot \frac{n^2}{4}} \right)$.

$V = \frac{1}{3} \frac{m-n}{2}\text{tg}(\phi) \left( \frac{m^2}{4} + \frac{n^2}{4} + \frac{mn}{4} \right)$.

$V = \frac{(m-n)\text{tg}(\phi)}{6} \cdot \frac{m^2+mn+n^2}{4}$.

$V = \frac{(m-n)(m^2+mn+n^2)}{24}\text{tg}(\phi)$.

Используя формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, получаем окончательное выражение для объёма:$V = \frac{m^3-n^3}{24}\text{tg}(\phi)$.

Ответ: $V = \frac{1}{24}(m^3-n^3)\text{tg}(\phi)$.

492. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объём полученной усечённой пирамиды.

Обозначим катеты основания как $a = 24$ дм и $b = 18$ дм, а боковое ребро как $L = 25$ дм.

1. Нахождение площади основания и высоты исходной пирамиды

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Его площадь $S_1$ равна:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18 = 12 \cdot 18 = 216$ дм².

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны ($L=25$ дм), ее вершина проецируется в центр описанной окружности основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$ дм.

Радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:
$R = \frac{c}{2} = \frac{30}{2} = 15$ дм.

Высоту пирамиды $H$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом описанной окружности основания и боковым ребром:
$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$ дм.

2. Нахождение объема исходной (большой) пирамиды

Объем исходной пирамиды $V_1$ вычисляется по формуле:
$V_1 = \frac{1}{3} S_1 H = \frac{1}{3} \cdot 216 \cdot 20 = 72 \cdot 20 = 1440$ дм³.

3. Нахождение объема усеченной пирамиды

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию и делящей боковое ребро пополам. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению высот или боковых ребер малой и большой пирамид. Так как боковое ребро делится пополам, то:
$k = \frac{L_{малой}}{L_{большой}} = \frac{25/2}{25} = \frac{1}{2}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Пусть $V_2$ — объем отсеченной (малой) пирамиды. Тогда:
$\frac{V_2}{V_1} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Отсюда $V_2 = \frac{1}{8} V_1$.

Объем усеченной пирамиды $V_{усеч}$ равен разности объемов большой и малой пирамид:
$V_{усеч} = V_1 - V_2 = V_1 - \frac{1}{8} V_1 = \frac{7}{8} V_1$.

Подставим найденное значение объема большой пирамиды $V_1$:
$V_{усеч} = \frac{7}{8} \cdot 1440 = 7 \cdot \frac{1440}{8} = 7 \cdot 180 = 1260$ дм³.

Ответ: $1260$ дм³.

493. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 4 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15 см². Найдите объём усечённой пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления объема усеченной пирамиды:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

1. Нахождение площадей оснований

Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основаниями являются квадраты.

Сторона нижнего (большего) основания равна $a_1 = 6$ см. Его площадь:

$S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ см².

Сторона верхнего (меньшего) основания равна $a_2 = 4$ см. Его площадь:

$S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Нахождение высоты усеченной пирамиды

Сечение, проходящее через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, является диагональным сечением. В правильной усеченной пирамиде такое сечение — это равнобокая трапеция. Основаниями этой трапеции служат диагонали квадратов, лежащих в основаниях пирамиды.

Найдем длины диагоналей оснований:

Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Высота этой трапеции-сечения совпадает с высотой $h$ самой усеченной пирамиды. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

По условию задачи площадь сечения равна 15 см². Подставим известные значения и найдем высоту $h$:

$15 = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot h$

$15 = \frac{10\sqrt{2}}{2} \cdot h$

$15 = 5\sqrt{2} \cdot h$

$h = \frac{15}{5\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Вычисление объема усеченной пирамиды

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot (36 + 16 + \sqrt{36 \cdot 16})$

$V = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (52 + \sqrt{576})$

Поскольку $\sqrt{576} = 24$, то:

$V = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (52 + 24)$

$V = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 76$

$V = 38\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $38\sqrt{2}$ см³.