gdz.top
Номер 486, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Объёмы тел. Параграф 3. Объёмы наклонной призмы, пирамиды и конуса - номер 486, страница 132.
№485
№486 (с. 132)
Условие. №486 (с. 132)
486. Докажите, что если в пирамиду можно вписать шар, то объём V пирамиды можно вычислить по формуле V =S ∙ r, где S — площадь полной поверхности пирамиды, а r — радиус вписанного в пирамиду шара.
Решение 2. №486 (с. 132)
Решение 6. №486 (с. 132)
Пусть дана произвольная пирамида, в которую вписан шар с центром в точке $O$ и радиусом $r$.
По определению вписанного шара, он касается всех граней пирамиды. Это означает, что расстояние от его центра $O$ до плоскости каждой грани равно радиусу $r$.
Соединим центр шара $O$ со всеми вершинами пирамиды. В результате исходная пирамида будет разбита на несколько меньших пирамид. Основанием каждой такой малой пирамиды будет одна из граней исходной пирамиды, а общей вершиной для всех них будет точка $O$.
Пусть площади граней исходной пирамиды (включая основание) равны $S_1, S_2, \dots, S_n$. Тогда площадь полной поверхности $S$ исходной пирамиды равна их сумме: $S = S_1 + S_2 + \dots + S_n$.
Рассмотрим одну из малых пирамид, например, с основанием $S_i$. Ее вершина — точка $O$. Высота этой пирамиды, опущенная из вершины $O$ на основание $S_i$, является перпендикуляром от центра шара до грани. Как мы установили, длина этой высоты равна радиусу вписанного шара $r$.
Объем $V_i$ этой малой пирамиды вычисляется по формуле $V_i = \frac{1}{3} S_i \cdot r$. Это справедливо для всех малых пирамид, на которые была разбита исходная.
Общий объем $V$ исходной пирамиды равен сумме объемов всех малых пирамид: $V = V_1 + V_2 + \dots + V_n = \frac{1}{3} S_1 \cdot r + \frac{1}{3} S_2 \cdot r + \dots + \frac{1}{3} S_n \cdot r$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}r$ за скобки: $V = \frac{1}{3} r (S_1 + S_2 + \dots + S_n)$.
Поскольку выражение в скобках равно площади полной поверхности пирамиды $S$, мы получаем искомую формулу: $V = \frac{1}{3} S \cdot r$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 486 расположенного на странице 132 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №486 (с. 132), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.