gdz.top
Номер 487, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Объёмы тел. Параграф 3. Объёмы наклонной призмы, пирамиды и конуса - номер 487, страница 132.
№486
№487 (с. 132)
Условие. №487 (с. 132)
487. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1,5 см.
Решение 2. №487 (с. 132)
Решение 6. №487 (с. 132)
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
По условию задачи, высота пирамиды $H = 1,5$ см, а основанием является ромб со стороной $a = 6$ см. Для нахождения объёма необходимо вычислить площадь основания $S_{осн}$.
Так как все двугранные углы при основании пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Для ромба центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а её проекцию на основание (центр вписанной окружности) как $O$. Тогда $SO = H = 1,5$ см.
Радиус $r$ вписанной в ромб окружности можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник $\triangle SOK$, где $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной ромба. В этом треугольнике:
- $SO$ — катет, равный высоте пирамиды $H$.
- $OK$ — катет, равный радиусу вписанной окружности $r$.
- $\angle SKO$ — линейный угол двугранного угла при основании, по условию он равен $45^\circ$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SOK$ имеем:
$\text{tg}(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{H}{r}$
Подставляем известные значения:
$\text{tg}(45^\circ) = \frac{1,5}{r}$
Поскольку $\text{tg}(45^\circ) = 1$, получаем:
$1 = \frac{1,5}{r} \Rightarrow r = 1,5$ см.
Высота ромба $h_{ромба}$ равна диаметру вписанной в него окружности, то есть $h_{ромба} = 2r$.
$h_{ромба} = 2 \cdot 1,5 = 3$ см.
Теперь можно найти площадь ромба по формуле произведения стороны на высоту:
$S_{осн} = a \cdot h_{ромба} = 6 \cdot 3 = 18$ см2.
Наконец, вычисляем объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 1,5 = 6 \cdot 1,5 = 9$ см3.
Ответ: 9 см3.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 487 расположенного на странице 132 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №487 (с. 132), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.