Номер 483, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

483. Найдите объём и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если её боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см.

Дано: правильная шестиугольная пирамида.
Боковое ребро $l = 13$ см.
Диаметр вписанного в основание круга $d = 6$ см.

Для начала найдем параметры основания пирамиды — правильного шестиугольника.
Радиус вписанного в основание круга равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности связан с его стороной $a$ формулой $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда выразим и найдем сторону основания $a$:
$a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).
Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (4 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 18\sqrt{3}$ см?.

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).
Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом описанной около основания окружности $R$ (катет).
Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне: $R = a = 2\sqrt{3}$ см.
По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.
$H^2 = l^2 - R^2 = 13^2 - (2\sqrt{3})^2 = 169 - 12 = 157$.
$H = \sqrt{157}$ см.

3. Вычислим объём ($V$).
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot \sqrt{157} = 6\sqrt{3 \cdot 157} = 6\sqrt{471}$ см?.
Ответ: $6\sqrt{471}$ см?.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

1. Найдем периметр основания ($P_{осн}$).
$P_{осн} = 6a = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.

2. Найдем апофему пирамиды ($h_a$).
Апофему можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$ (катет), апофемой $h_a$ (гипотенуза) и радиусом вписанной в основание окружности $r$ (катет).
По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + r^2$.
$h_a^2 = (\sqrt{157})^2 + 3^2 = 157 + 9 = 166$.
$h_a = \sqrt{166}$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{166} = 6\sqrt{3 \cdot 166} = 6\sqrt{498}$ см?.
Ответ: $6\sqrt{498}$ см?.