Номер 490, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

490. Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны а и 0,5а, апофема боковой грани равна а. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$$ V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) $$

где $h$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади её нижнего и верхнего оснований соответственно.

1. Нахождение площадей оснований

В основаниях данной правильной усечённой пирамиды лежат правильные (равносторонние) треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $x$ вычисляется по формуле $S = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

Сторона нижнего основания по условию равна $a$. Найдём его площадь $S_1$:

$$ S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$

Сторона верхнего основания равна $0,5a$. Найдём его площадь $S_2$:

$$ S_2 = \frac{(0,5a)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{0,25a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16} $$

2. Нахождение высоты усечённой пирамиды

Высоту $h$ усечённой пирамиды можно найти, рассмотрев сечение, проходящее через апофему боковой грани $l$ и апофемы оснований (радиусы вписанных окружностей) $r_1$ и $r_2$. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию. Высота пирамиды $h$ является одним из катетов прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является апофема боковой грани $l=a$, а вторым катетом — разность апофем оснований $(r_1 - r_2)$.

Апофема (радиус вписанной окружности) равностороннего треугольника со стороной $x$ находится по формуле $r = \frac{x}{2\sqrt{3}}$.

Апофема нижнего основания:

$$ r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}} $$

Апофема верхнего основания:

$$ r_2 = \frac{0,5a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{4\sqrt{3}} $$

По теореме Пифагора для упомянутого прямоугольного треугольника имеем: $l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$. Выразим отсюда $h^2$:

$$ h^2 = l^2 - (r_1 - r_2)^2 $$

Вычислим разность апофем:

$$ r_1 - r_2 = \frac{a}{2\sqrt{3}} - \frac{a}{4\sqrt{3}} = \frac{2a - a}{4\sqrt{3}} = \frac{a}{4\sqrt{3}} $$

Подставим известные значения в формулу для $h^2$:

$$ h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{4\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{16 \cdot 3} = a^2 - \frac{a^2}{48} = \frac{48a^2 - a^2}{48} = \frac{47a^2}{48} $$

Отсюда находим высоту $h$:

$$ h = \sqrt{\frac{47a^2}{48}} = \frac{a\sqrt{47}}{\sqrt{48}} = \frac{a\sqrt{47}}{4\sqrt{3}} $$

3. Вычисление объёма усечённой пирамиды

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $h$ в исходную формулу для объёма.

Сначала вычислим выражение $S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2$:

$$ \sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{16}} = \sqrt{\frac{3a^4}{64}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8} $$

$$ S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{8} + \frac{a^2\sqrt{3}}{16} $$

Приводя слагаемые к общему знаменателю 16, получаем:

$$ \frac{4a^2\sqrt{3} + 2a^2\sqrt{3} + a^2\sqrt{3}}{16} = \frac{7a^2\sqrt{3}}{16} $$

Теперь вычислим объём $V$:

$$ V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{47}}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{7a^2\sqrt{3}}{16} $$

Сократим $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$$ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{47}}{4} \cdot \frac{7a^2}{16} = \frac{7a^3\sqrt{47}}{3 \cdot 4 \cdot 16} = \frac{7a^3\sqrt{47}}{192} $$

Ответ: $V = \frac{7\sqrt{47}}{192} a^3$.