Номер 493, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

493. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 4 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15 см². Найдите объём усечённой пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления объема усеченной пирамиды:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

1. Нахождение площадей оснований

Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основаниями являются квадраты.

Сторона нижнего (большего) основания равна $a_1 = 6$ см. Его площадь:

$S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ см².

Сторона верхнего (меньшего) основания равна $a_2 = 4$ см. Его площадь:

$S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см².

2. Нахождение высоты усеченной пирамиды

Сечение, проходящее через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, является диагональным сечением. В правильной усеченной пирамиде такое сечение — это равнобокая трапеция. Основаниями этой трапеции служат диагонали квадратов, лежащих в основаниях пирамиды.

Найдем длины диагоналей оснований:

Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Высота этой трапеции-сечения совпадает с высотой $h$ самой усеченной пирамиды. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

По условию задачи площадь сечения равна 15 см². Подставим известные значения и найдем высоту $h$:

$15 = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot h$

$15 = \frac{10\sqrt{2}}{2} \cdot h$

$15 = 5\sqrt{2} \cdot h$

$h = \frac{15}{5\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Вычисление объема усеченной пирамиды

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot (36 + 16 + \sqrt{36 \cdot 16})$

$V = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (52 + \sqrt{576})$

Поскольку $\sqrt{576} = 24$, то:

$V = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (52 + 24)$

$V = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 76$

$V = 38\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $38\sqrt{2}$ см³.