Номер 491, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

491. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны m и n (m > n). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним угол φ. Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть $S_1$ — площадь большего основания, а $S_2$ — площадь меньшего основания усеченной пирамиды. Основаниями являются равнобедренные прямоугольные треугольники.

Найдем площади оснований.У большего основания гипотенуза равна $m$. Если катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен $a$, то его гипотенуза равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, катеты большего основания равны $\frac{m}{\sqrt{2}}$. Его площадь $S_1$ равна:$S_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{\sqrt{2}} \cdot \frac{m}{\sqrt{2}} = \frac{m^2}{4}$.

Аналогично для меньшего основания с гипотенузой $n$. Его катеты равны $\frac{n}{\sqrt{2}}$, а площадь $S_2$ равна:$S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n}{\sqrt{2}} = \frac{n^2}{4}$.

Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию. Это означает, что боковое ребро, являющееся их общей стороной (ребро, соединяющее вершины прямых углов оснований), перпендикулярно плоскостям обоих оснований. Длина этого ребра является высотой усеченной пирамиды $H$.

Третья боковая грань, содержащая гипотенузы, составляет с основанием угол $\phi$. Эта грань является трапецией. Угол $\phi$ — это двугранный угол между плоскостью этой грани и плоскостью основания.

Для нахождения высоты $H$ рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $H$ и перпендикулярной гипотенузам оснований. Это сечение представляет собой прямоугольную трапецию. Основаниями этой трапеции являются высоты, опущенные из вершин прямых углов на гипотенузы в треугольниках оснований. Длина такой высоты в равнобедренном прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

Таким образом, основания этой трапеции равны $\frac{m}{2}$ и $\frac{n}{2}$. Одна из боковых сторон трапеции — это высота пирамиды $H$, и она перпендикулярна основаниям трапеции. Другая боковая сторона (апофема третьей грани) наклонена к большему основанию под углом $\phi$. Проекция этой наклонной стороны на плоскость основания равна разности оснований трапеции: $\frac{m}{2} - \frac{n}{2} = \frac{m-n}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, проекцией апофемы и самой апофемой. В этом треугольнике катеты — это $H$ и $\frac{m-n}{2}$, а угол, противолежащий катету $H$, равен $\phi$. Отсюда получаем соотношение:$\text{tg}(\phi) = \frac{H}{\frac{m-n}{2}}$.

Выразим высоту $H$:$H = \frac{m-n}{2}\text{tg}(\phi)$.

Теперь найдем объём усеченной пирамиды по формуле:$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$.

Подставим найденные значения $S_1$, $S_2$ и $H$:$V = \frac{1}{3} \left( \frac{m-n}{2}\text{tg}(\phi) \right) \left( \frac{m^2}{4} + \frac{n^2}{4} + \sqrt{\frac{m^2}{4} \cdot \frac{n^2}{4}} \right)$.

$V = \frac{1}{3} \frac{m-n}{2}\text{tg}(\phi) \left( \frac{m^2}{4} + \frac{n^2}{4} + \frac{mn}{4} \right)$.

$V = \frac{(m-n)\text{tg}(\phi)}{6} \cdot \frac{m^2+mn+n^2}{4}$.

$V = \frac{(m-n)(m^2+mn+n^2)}{24}\text{tg}(\phi)$.

Используя формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, получаем окончательное выражение для объёма:$V = \frac{m^3-n^3}{24}\text{tg}(\phi)$.

Ответ: $V = \frac{1}{24}(m^3-n^3)\text{tg}(\phi)$.