Номер 489, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

489. Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором AB = 20 см, АС = 29 см, ВС = 21 см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60°. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды $DABC$ используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Определение высоты пирамиды.По условию задачи, грани $DAB$ и $DAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Плоскости $DAB$ и $DAC$ пересекаются по ребру $DA$. Следовательно, ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, и $DA$ является высотой пирамиды. Таким образом, $H = DA$.

2. Вычисление площади основания.Основанием пирамиды является треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 20$ см, $AC = 29$ см и $BC = 21$ см. Для нахождения его площади $S_{ABC}$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.Сначала найдем полупериметр $p$:$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{20 + 29 + 21}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.Теперь вычислим площадь $S_{ABC}$:$S_{ABC} = \sqrt{35(35-21)(35-29)(35-20)} = \sqrt{35 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 15} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 5)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ см$^2$.

3. Вычисление высоты пирамиды.Угол между гранью $DBC$ и плоскостью основания $ABC$ равен $60^\circ$. Этот угол является двугранным углом при ребре $BC$. Для его измерения построим линейный угол. В плоскости основания проведем высоту $AK$ к стороне $BC$ (то есть $AK \perp BC$). Так как $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $AK$ — это проекция наклонной $DK$ на эту плоскость, то по теореме о трех перпендикулярах $DK$ также перпендикулярна $BC$ ($DK \perp BC$).Следовательно, угол $\angle DKA$ — это линейный угол двугранного угла, и $\angle DKA = 60^\circ$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAK$ (угол $\angle DAK = 90^\circ$, так как $DA$ — высота). Высоту $DA$ можно найти из этого треугольника, но сначала нужно определить длину катета $AK$.$AK$ является высотой в треугольнике-основании $ABC$. Его длину можно найти, используя уже вычисленную площадь:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK$.$AK = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 210}{21} = \frac{420}{21} = 20$ см.Теперь из прямоугольного треугольника $DAK$ найдем высоту пирамиды $H = DA$:$H = DA = AK \cdot \tan(\angle DKA) = 20 \cdot \tan(60^\circ) = 20\sqrt{3}$ см.

4. Вычисление объема пирамиды.Подставим найденные значения площади основания $S_{ABC} = 210$ см$^2$ и высоты $H = 20\sqrt{3}$ см в формулу для объема:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot 20\sqrt{3} = 70 \cdot 20\sqrt{3} = 1400\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $1400\sqrt{3}$ см$^3$.