Номер 484, страница 132 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

484. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = ВС = 13 см, АС = 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол в 30°. Вычислите объём пирамиды.

1. Нахождение площади основания пирамиды

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 13$ см и основанием $AC = 10$ см. Для вычисления его площади $S_{осн}$ проведем высоту $BH$ к стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике эта высота также является медианой, поэтому она делит основание $AC$ пополам: $AH = HC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Из прямоугольного треугольника $BHC$ по теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$:

$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь основания пирамиды равна площади треугольника $ABC$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

2. Нахождение высоты пирамиды

Пусть $SO$ — высота пирамиды $H$. По условию, каждое боковое ребро образует с высотой угол $30^\circ$. Это означает, что если мы рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $SO$ и боковыми ребрами ($SA, SB, SC$), то углы $\angle ASO, \angle BSO, \angle CSO$ будут равны $30^\circ$.

Так как треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $O$), имеют общий катет $SO$ и равный острый угол ($30^\circ$), они равны по катету и острому углу. Из равенства этих треугольников следует, что их вторые катеты также равны: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а отрезки $OA, OB, OC$ — ее радиусом $R$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a,b,c$ — стороны треугольника:

$R = \frac{13 \cdot 13 \cdot 10}{4 \cdot S_{осн}} = \frac{1690}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $SOA$ найдем высоту пирамиды $H=SO$. В этом треугольнике нам известен катет $OA=R$ и прилежащий к высоте $SO$ угол $\angle ASO = 30^\circ$.

Используя определение тангенса, получаем: $\tan(\angle ASO) = \frac{OA}{SO}$.

Отсюда выражаем высоту $H=SO$:

$H = SO = \frac{OA}{\tan(30^\circ)} = \frac{R}{1/\sqrt{3}} = R\sqrt{3} = \frac{169}{24} \cdot \sqrt{3} = \frac{169\sqrt{3}}{24}$ см.

3. Вычисление объёма пирамиды

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$. Подставим найденные значения площади основания и высоты:

$V = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot \frac{169\sqrt{3}}{24} = 20 \cdot \frac{169\sqrt{3}}{24}$

Сократим и вычислим окончательное значение:

$V = \frac{20 \cdot 169\sqrt{3}}{24} = \frac{5 \cdot 169\sqrt{3}}{6} = \frac{845\sqrt{3}}{6}$ см³.

Ответ: $V = \frac{845\sqrt{3}}{6}$ см³.