Номер 480, страница 131 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

480. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен φ, а сторона основания равна а. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $S$ — вершина, а $ABC$ — основание. Основание $ABC$ является правильным (равносторонним) треугольником со стороной $a$. Плоский угол при вершине — это угол при вершине $S$ в каждой боковой грани, то есть $\angle BSC = \angle CSA = \angle ASB = \phi$. Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$

Основание — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту пирамиды $H$

Высота пирамиды $H$ — это отрезок $SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника $ABC$).

Рассмотрим боковую грань $SBC$. Это равнобедренный треугольник с основанием $BC=a$ и боковыми сторонами $SB = SC$. Угол при вершине $\angle BSC = \phi$. Проведем в этом треугольнике высоту (апофему пирамиды) $SM$ к основанию $BC$. Так как треугольник $SBC$ равнобедренный, $SM$ является также медианой и биссектрисой, поэтому $M$ — середина $BC$, $BM = \frac{a}{2}$, и $\angle BSM = \frac{\phi}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SMB$ найдем длину апофемы $SM$:

$\mathrm{tg}(\angle BSM) = \frac{BM}{SM} \implies \mathrm{tg}\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{a/2}{SM}$

$SM = \frac{a}{2 \cdot \mathrm{tg}(\frac{\phi}{2})} = \frac{a}{2}\mathrm{ctg}\left(\frac{\phi}{2}\right)$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. Катет $SO$ — это искомая высота $H$. Катет $OM$ — это радиус вписанной в основание $ABC$ окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен:

$OM = r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$ ($SM$ — гипотенуза):

$H^2 = SO^2 = SM^2 - OM^2$

$H^2 = \left(\frac{a}{2}\mathrm{ctg}\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)^2 - \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\mathrm{ctg}^2\left(\frac{\phi}{2}\right) - \frac{a^2}{12} = \frac{a^2}{4}\left(\mathrm{ctg}^2\left(\frac{\phi}{2}\right) - \frac{1}{3}\right)$

$H^2 = \frac{a^2}{4}\left(\frac{\cos^2(\phi/2)}{\sin^2(\phi/2)} - \frac{1}{3}\right) = \frac{a^2}{4}\left(\frac{3\cos^2(\phi/2) - \sin^2(\phi/2)}{3\sin^2(\phi/2)}\right)$

Используем тригонометрические тождества: $\cos^2(\alpha) = 1-\sin^2(\alpha)$ и $\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha) \implies 2\sin^2(\alpha)=1-\cos(2\alpha)$.

$3\cos^2(\phi/2) - \sin^2(\phi/2) = 3(1-\sin^2(\phi/2)) - \sin^2(\phi/2) = 3 - 4\sin^2(\phi/2) = 3 - 2(1-\cos\phi) = 1+2\cos\phi$.

$H^2 = \frac{a^2}{4} \frac{1+2\cos\phi}{3\sin^2(\phi/2)} = \frac{a^2(1+2\cos\phi)}{12\sin^2(\phi/2)}$

Отсюда высота $H$ равна:

$H = \sqrt{\frac{a^2(1+2\cos\phi)}{12\sin^2(\phi/2)}} = \frac{a\sqrt{1+2\cos\phi}}{2\sqrt{3}\sin(\phi/2)}$

Для существования пирамиды высота должна быть действительным числом, т.е. $1+2\cos\phi > 0 \implies \cos\phi > -1/2$, что означает $0 < \phi < 2\pi/3$.

3. Найдем объём пирамиды $V$

Подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{1+2\cos\phi}}{2\sqrt{3}\sin(\phi/2)}$

$V = \frac{a^3\sqrt{3}\sqrt{1+2\cos\phi}}{24\sqrt{3}\sin(\phi/2)} = \frac{a^3\sqrt{1+2\cos\phi}}{24\sin(\phi/2)}$

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{1+2\cos\phi}}{24\sin(\phi/2)}$