Номер 474, страница 131 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

474. Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объём параллелепипеда.

Поскольку все грани параллелепипеда — равные ромбы, такой многогранник называется ромбоэдром. Все его ребра равны между собой. Найдем сначала характеристики одной грани (ромба).

Пусть диагонали ромба равны $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Сторону ромба $a$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей:

$a = \sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt{(6/2)^2 + (8/2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, все ребра параллелепипеда равны $a = 5$ см.

Площадь ромба (которая будет площадью основания $S_{осн}$) равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота. Высота зависит от того, как ромбы соединены в пространстве, то есть от величины плоских углов при вершинах параллелепипеда. У ромба есть два острых и два тупых угла (если это не квадрат).

Найдем косинус острого угла $\alpha$ ромба. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и меньшей диагональю $d_1$:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \alpha$

$6^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5^2 \cos \alpha$

$36 = 50 - 50 \cos \alpha$

$50 \cos \alpha = 14$

$\cos \alpha = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$

Косинус тупого угла $\beta$ будет $\cos \beta = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha = -\frac{7}{25}$.

Поскольку в условии не указано, какие именно углы (острые или тупые) сходятся в вершинах параллелепипеда, существует два основных типа ромбоэдров, которые можно составить из данных ромбов.

В этом случае в двух противоположных вершинах параллелепипеда сходятся три острых угла $\alpha$ ромбов. Объем такого ромбоэдра можно найти по формуле:

$V_1 = a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha}$

Подставим наши значения $a=5$ и $\cos\alpha = 7/25$:

$V_1 = 5^3 \sqrt{1 - 3\left(\frac{7}{25}\right)^2 + 2\left(\frac{7}{25}\right)^3} = 125 \sqrt{1 - 3\frac{49}{625} + 2\frac{343}{15625}}$

$V_1 = 125 \sqrt{\frac{15625 - 3 \cdot 49 \cdot 25 + 2 \cdot 343}{15625}} = 125 \frac{\sqrt{15625 - 3675 + 686}}{125}$

$V_1 = \sqrt{12636} = \sqrt{324 \cdot 39} = 18\sqrt{39}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{39}$ см³.

В этом случае в двух противоположных вершинах параллелепипеда сходятся три тупых угла $\beta$ ромбов. Формула для объема будет аналогичной, но с использованием $\cos\beta$:

$V_2 = a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\beta + 2\cos^3\beta}$

Подставим наши значения $a=5$ и $\cos\beta = -7/25$:

$V_2 = 5^3 \sqrt{1 - 3\left(-\frac{7}{25}\right)^2 + 2\left(-\frac{7}{25}\right)^3} = 125 \sqrt{1 - 3\frac{49}{625} - 2\frac{343}{15625}}$

$V_2 = 125 \sqrt{\frac{15625 - 3 \cdot 49 \cdot 25 - 2 \cdot 343}{15625}} = 125 \frac{\sqrt{15625 - 3675 - 686}}{125}$

$V_2 = \sqrt{11264} = \sqrt{1024 \cdot 11} = 32\sqrt{11}$ см³.

Ответ: $32\sqrt{11}$ см³.