Номер 475, страница 131 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

475. Докажите, что объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым рёбрам и пересекающей их.

Пусть дана наклонная призма. Обозначим её объём через $V$, длину бокового ребра — через $l$, а площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам, — через $S_{\text{сеч}}$. Такое сечение также называют перпендикулярным или нормальным сечением. Требуется доказать, что объём призмы вычисляется по формуле:$V = l \cdot S_{\text{сеч}}$

Для доказательства воспользуемся принципом Кавальери.

Рассмотрим данную наклонную призму. Вместе с ней рассмотрим прямую призму, основанием которой является многоугольник, равный перпендикулярному сечению наклонной призмы (соответственно, площадь этого основания равна $S_{\text{сеч}}$), а высота этой прямой призмы равна длине бокового ребра наклонной призмы, то есть $l$.

Объём такой прямой призмы, по определению, равен произведению площади её основания на высоту:$V_{\text{прямая}} = S_{\text{сеч}} \cdot l$

Теперь сравним объёмы наклонной и построенной прямой призмы. Расположим обе призмы таким образом, чтобы их «простирание» в пространстве было сонаправлено. То есть, боковые рёбра наклонной призмы будут параллельны высоте прямой призмы.

Проведём произвольную плоскость, параллельную основанию прямой призмы. По построению, эта плоскость будет также перпендикулярна боковым рёбрам наклонной призмы. Эта плоскость пересечёт обе призмы.

Площадь сечения прямой призмы этой плоскостью будет равна площади её основания, то есть $S_{\text{сеч}}$.

Площадь сечения наклонной призмы этой же плоскостью по определению является площадью перпендикулярного сечения. Все перпендикулярные сечения одной и той же призмы равны между собой, следовательно, площадь этого сечения также равна $S_{\text{сеч}}$.

Итак, любая плоскость, перпендикулярная боковым рёбрам наклонной призмы, пересекает обе призмы по фигурам с равными площадями.

Согласно принципу Кавальери, если два тела имеют такую особенность, что площади их сечений плоскостями, параллельными некоторой фиксированной плоскости, равны для любой из этих плоскостей, то объёмы этих тел равны.

В нашем случае это условие выполняется. Следовательно, объём наклонной призмы $V$ равен объёму построенной прямой призмы $V_{\text{прямая}}$:$V = V_{\text{прямая}} = l \cdot S_{\text{сеч}}$

Таким образом, утверждение, что объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного сечения, доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Объём $V$ наклонной призмы действительно равен произведению длины её бокового ребра $l$ на площадь $S_{\text{сеч}}$ сечения, перпендикулярного боковым рёбрам: $V = l \cdot S_{\text{сеч}}$.