Номер 470, страница 130 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

470. Найдите объём наклонной призмы ABCА₁В₁С₁, если AB = ВС = СА = а, ABB₁A₁ — ромб, AB₁ ‹ BA₁, AB₁ = b, двугранный угол с ребром AB прямой.

Объем наклонной призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является треугольник $ABC$. По условию, $AB = BC = CA = a$, следовательно, треугольник $ABC$ — равносторонний. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Для нахождения высоты призмы $H$ воспользуемся условием о том, что двугранный угол при ребре $AB$ прямой. Это означает, что плоскость боковой грани $ABB_1A_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. В таком случае, высота призмы $H$ равна высоте ромба $ABB_1A_1$, проведенной из вершины $A_1$ к стороне $AB$.

Рассмотрим ромб $ABB_1A_1$. Все его стороны равны $a$. Дана длина одной из диагоналей ромба, $AB_1 = b$. Найдем вторую диагональ $BA_1$, используя свойство, что сумма квадратов диагоналей ромба равна учетверенному квадрату его стороны: $(AB_1)^2 + (BA_1)^2 = 4 \cdot (AB)^2$.

Подставим известные значения: $b^2 + (BA_1)^2 = 4a^2$. Отсюда $BA_1 = \sqrt{4a^2 - b^2}$.

Площадь ромба $S_{ромба}$ можно выразить двумя способами. Через диагонали: $S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot BA_1 = \frac{1}{2} b \sqrt{4a^2 - b^2}$. И через основание и высоту: $S_{ромба} = AB \cdot H = a \cdot H$.

Приравнивая эти два выражения для площади, получим: $a \cdot H = \frac{1}{2} b \sqrt{4a^2 - b^2}$.

Выразим отсюда высоту призмы $H$:

$H = \frac{b \sqrt{4a^2 - b^2}}{2a}$

Теперь вычислим объем призмы, подставив найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ в начальную формулу:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b \sqrt{4a^2 - b^2}}{2a}$

После упрощения получим окончательный ответ:

$V = \frac{ab \sqrt{3(4a^2 - b^2)}}{8}$

Ответ: $V = \frac{ab \sqrt{3(4a^2 - b^2)}}{8}$.